Sejam X1, ldots, Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X sim N(0, sigma^2).
i) Encontre o teste UMP para testar H0: sigma^2=sigma0^2 versus H1: sigma^2>sigma0^2.
ii) Seja alpha=0,05, n=9 e sigma0^2=9, faça o gráfico da função poder.

Passo 1

O enunciado trata de testar a variância de uma normal com média zero, ou seja Xsim N(0,sigma^2). Temos X1,dots,Xn iid e queremos:
  • i) encontrar o teste UMP para
H0:sigma^2=sigma0^2 vs H1:sigma^2>sigma0^2
  • ii) para alpha=0,05, n=9 e sigma0^2=9, montar o gráfico da função poder.
    Conteúdo usado: teste de razão de verossimilhança para variância em normal e distribuição qui– quadrado.

Passo 2

Escrevemos a verossimilhança
L(sigma^2) =prodi=1^n1raiz2pisigma^2 exp(-Xi^22sigma^2) propto (sigma^2)^-n/2 exp!(-sumi=1^nXi^22sigma^2)
O teste de razão de verossimilhança rejeita para valores grandes de
Lambda^-1propto(sigma^2)^n/2exp(sum Xi^2/(2sigma^2)),
o que é monotônico em T=sumi=1^nXi^2. Logo o teste rejeita H0 para T grande.

Passo 3

Para nível alpha, sob H0 vale
Tsigma0^2simchi^2n
Definimos a constante crítica c tal que
PH0(T>c) =P!(chi^2n>csigma0^2)=alpha ;Longrightarrow; csigma0^2=chi^2n,,1-alpha,
isto é
c=sigma0^2,chi^2n,,1-alpha

Passo 4

O teste UMP de nível alpha é
phi(x)= 1,&se sumi=1^n xi^2>c, 0,&caso contrário á

Passo 5

Para calcular a função poder
beta(sigma^2) = Psigma^2(T>c) =1 - Fchi^2n!(tfraccsigma^2),
onde Fchi^2n é a CDF de chi^2n.

Passo 6

Agora n=9, alpha=0,05 e sigma0^2=9. Da tabela:
chi^29,,0.95approx16,919.
Logo
c =9times16,919approx152,27
A função poder fica
beta(sigma) =1 - Fchi^29!(152,27sigma^2)

Passo 7

Para esboçar, escolhemos alguns valores de sigma:
c|ccccc sigma&2&3&4&5&6hline lambda=152,27sigma^2 &38,07&16,92&9,52&6,09&4,23hline beta(sigma)=1-Fchi^29(lambda) &approx0&0,05&0,39&0,72&0,90
O gráfico em sigma (eixo horizontal) vs.\ beta(sigma) (eixo vertical) começa em betaapprox0 para sigmall3, vale beta(3)=0,05 e sobe continuamente em direção a 1 conforme sigma aumenta.

Resposta

i) O teste UMP rejeita H0 se
sumi=1^n Xi^2 > sigma0^2,chi^2n,,1-alpha
ii) Para n=9, alpha=0,05, sigma0^2=9 a constante crítica é capprox152,27 e a função poder
beta(sigma)=1 - Fchi^29!(tfrac152,27sigma^2),
cujo gráfico é uma curva crescente que passa por (sigma,beta)=(3,0,05) e tende a 1 quando sigmatoinfty.

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