Sejam uma amostra aleatória da variável aleatória .
i) Encontre o teste UMP para testar versus .
ii) Seja e , faça o gráfico da função poder.
Passo 1
O enunciado trata de testar a variância de uma normal com média zero, ou seja . Temos iid e queremos:
i) encontrar o teste UMP para
ii) para , e , montar o gráfico da função poder.
Conteúdo usado: teste de razão de verossimilhança para variância em normal e distribuição qui– quadrado.
Passo 2
Escrevemos a verossimilhança
O teste de razão de verossimilhança rejeita para valores grandes de ,
o que é monotônico em . Logo o teste rejeita para grande.
O gráfico em sigma (eixo horizontal) vs.\ beta(sigma) (eixo vertical) começa em betaapprox0 para sigmall3, vale beta(3)=0,05 e sobe continuamente em direção a 1 conforme sigma aumenta.
Resposta
i) O teste UMP rejeita H0 se
sumi=1^n Xi^2 > sigma0^2,chi^2n,,1-alpha
ii) Para n=9, alpha=0,05, sigma0^2=9 a constante crítica é capprox152,27 e a função poder
beta(sigma)=1 - Fchi^29!(tfrac152,27sigma^2),
cujo gráfico é uma curva crescente que passa por (sigma,beta)=(3,0,05) e tende a 1 quando sigmatoinfty.
Probabilidade e Estatística - Heleno Bolfarine Monica Carneiro Sandoval - Introdução À Inferência Estatística - 1ª Edição - Capítulo 6.6.7 - Ex. 6.8