Sejam X1, ldots, Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas, com média mux e variância sigmabarx^2<infty ; Y1, ldots, Yn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com média muY e variảncia sigmaY^2<infty. Suponha que as Xj e Yk sejam independentes e que mux neq 0. Ache o limite em distribuição de Zn=raizn(barYnbarXn-muYmux), onde
barXn=X1+ldots+Xnn e barYn=Y1+ldots+Ynn

Passo 1

O enunciado dá duas amostras independentes de tamanho n: X1,dots,Xn com E[Xj]=mux, Var(Xj)=sigmax^2 finita, e Y1,dots,Yn com E[Yk]=muY, Var(Yk)=sigmaY^2 finita. Queremos o limite em distribuição de
Zn=raiznl(bar Ynbar Xn-muYmuxr)
onde bar Xn e bar Yn são as médias amostrais. O conteúdo principal é o método delta aplicado à função g(x,y)=y/x.

Passo 2

Pela CLT multivariada, o vetor das médias
l(barXn,barYnr)
satisfaz
raiznl(barXn-mux,;barYn-muYr);xrightarrowd;Nl((0,0),;Sigmar),
com matriz de covariância
Sigma=sigmax^2&0[6pt]0&sigmaY^2
já que as duas amostras são independentes.]

Passo 3

Definimos a função
g(x,y)=yx
Calculamos o gradiente de g em (mux,muY):
nabla g(x,y) =l(partialpartial x,yx,;partialpartial y,yxr) =l(-yx^2,;1xr),
logo em (mux,muY) temos
nabla g(mux,muY) =l(-muYmux^2,;1muxr)

Passo 4

Pelo método delta,
raiznl(g(bar Xn,bar Yn)-g(mux,muY)r) ;xrightarrowd; Nl(0,;nabla g(mux,muY),Sigma,nabla g(mux,muY)^Tr)

Passo 5

Basta calcular a variância assintótica:
nabla g(mux,muY),Sigma,nabla g(mux,muY)^T =l(-tfracmuYmux^2r)^2sigmax^2 +l(tfrac1muxr)^2sigmaY^2 =muY^2,sigmax^2mux^4+sigmaY^2mux^2

Resposta

Zn=raiznl(tfracbar Ynbar Xn-tfracmuYmuxr) ;xrightarrowd; Nl(0,;tfracmuY^2,sigmax^2mux^4+tfracsigmaY^2mux^2r)

Exercícios de Livros Relacionados