Utilize funções características para provar: se e (an)n >= 1 é umá sequência de números reais tal que an a finito, então Xn+an xrightarrowD N(a, 1).
Passo 1
Vamos usar funções características e o Teorema de Lévy (continuidade das funções características) para mostrar a convergência em distribuição. O enunciado diz que XnxrightarrowDN(0,1) e que anto a. Queremos provar que
Xn+anxrightarrowDN(a,1)
Passo 2
Lembremos que a função característica de uma variável aleatória Y é
varphiY(t)=El[e^itYr]
E que, se Ysim N(mu,sigma^2), então
varphiY(t)=e^imu t-12sigma^2t^2
Passo 3
Usando a propriedade de deslocamento, para cada n temos
varphiXn+an(t) =El[e^it(Xn+an)r] =e^it an, El[e^itXnr] =e^it anvarphiXn(t)
Passo 4
Como XnxrightarrowDN(0,1), vale varphiXn(t)to e^-t^2/2. E como anto a, temos