Utilize funções características para provar: se Xn xrightarrowO N(0,1) e (an)n >= 1 é umá sequência de números reais tal que an a finito, então Xn+an xrightarrowD N(a, 1).

Passo 1

Vamos usar funções características e o Teorema de Lévy (continuidade das funções características) para mostrar a convergência em distribuição. O enunciado diz que XnxrightarrowDN(0,1) e que anto a. Queremos provar que
Xn+anxrightarrowDN(a,1)

Passo 2

Lembremos que a função característica de uma variável aleatória Y é
varphiY(t)=El[e^itYr]
E que, se Ysim N(mu,sigma^2), então
varphiY(t)=e^imu t-12sigma^2t^2

Passo 3

Usando a propriedade de deslocamento, para cada n temos
varphiXn+an(t) =El[e^it(Xn+an)r] =e^it an, El[e^itXnr] =e^it anvarphiXn(t)

Passo 4

Como XnxrightarrowDN(0,1), vale varphiXn(t)to e^-t^2/2. E como anto a, temos
limntoinftyvarphiXn+an(t) =limntoinftye^it anvarphiXn(t) =e^it a,e^-12t^2

Passo 5

Reconhecemos e^it a-tfrac12t^2 como a função característica de N(a,1).

Passo 6

Pelo Teorema de Lévy, a convergência pontual
varphiXn+an(t)tovarphiN(a,1)(t)
implica
Xn+anxrightarrowDN(a,1)

Resposta

Xn+anxrightarrowDN(a,1).

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