Problema 06. (American Regions Mathematics League - adaptada) Sabendo que o valor da expressão \cos \left(\frac{\pi}{11}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{11}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{11}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{11}\right) \cos \left(\frac{5 \pi}{11}\right) pode ser escrito da forma \left(\frac{r}{s}\right) onde r es são inteiros positivos primos entre si. O valor de ( r+s ) é igual a:
a) 17
b) 33
c) 65
d) 129
e) 257

Passo 1

O enunciado dá o produto
\cos\!\left(\frac{\pi}{11}\right)\cos\!\left(\frac{2\pi}{11}\right)\cos\!\left(\frac{3\pi}{11}\right)\cos\!\left(\frac{4\pi}{11}\right)\cos\!\left(\frac{5\pi}{11}\right)
e pede escrever esse valor na forma \left(\dfrac{r}{s}\right) com r e s inteiros positivos primos entre si, e então encontrar r+s. As alternativas são:
a) 17 \quad b) 33 \quad c) 65 \quad d) 129 \quad e) 257.

Passo 2

Vamos definir uma notação conveniente. Para n ímpar, defina os ângulos
\theta_k=\frac{\pi k}{n}\qquad\text{para }k=1,2,\dots,\frac{n-1}{2}.
No nosso caso específico \,n=11 e queremos \prod_{k=1}^{5}\cos(\theta_k).

Passo 3

Use a identidade trigonométrica básica
\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha).
Aplicando essa identidade a \alpha=\theta_k para cada k obtemos
\sin(2\theta_k)=2\sin(\theta_k)\cos(\theta_k).
Agora multiplicamos essas igualdades para todos k=1,\dots,(n-1)/2. O lado esquerdo fica o produto dos \sin(2\theta_k) e o direito é 2^{(n-1)/2}\prod_{k=1}^{(n-1)/2}\sin(\theta_k)\prod_{k=1}^{(n-1)/2}\cos(\theta_k). Assim:
\prod_{k=1}^{(n-1)/2}\sin(2\theta_k) =2^{(n-1)/2}\left(\prod_{k=1}^{(n-1)/2}\sin(\theta_k)\right)\left(\prod_{k=1}^{(n-1)/2}\cos(\theta_k)\right).

Passo 4

Reescrevendo \theta_k=\dfrac{\pi k}{n} obtemos
\prod_{k=1}^{(n-1)/2}\sin\!\left(\frac{2\pi k}{n}\right) =2^{(n-1)/2}\left(\prod_{k=1}^{(n-1)/2}\sin\!\left(\frac{\pi k}{n}\right)\right)\left(\prod_{k=1}^{(n-1)/2}\cos\!\left(\frac{\pi k}{n}\right)\right).
Note agora um fato importante sobre o conjunto dos índices k quando n é ímpar: como \gcd(2,n)=1, a multiplicação por 2 modulo n permuta os resíduos 1,2,\dots,n-1. Em particular, a aplicação k\mapsto 2k \pmod{n} envia a coleção \{1,2,\dots,(n-1)/2\} em si mesma (apenas em outra ordem), porque não sobra nenhum dos índices simétricos fora do intervalo e não há colisões por invertibilidade de 2 módulo n. Logo os valores
\sin\!\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\quad\text{(para }k=1,\dots,(n-1)/2\text{)}
são exatamente, em alguma ordem, os valores
\sin\!\left(\frac{\pi m}{n}\right)\quad\text{(para }m=1,\dots,(n-1)/2\text{)}.
Portanto os dois produtos são iguais:
\prod_{k=1}^{(n-1)/2}\sin\!\left(\frac{2\pi k}{n}\right) =\prod_{k=1}^{(n-1)/2}\sin\!\left(\frac{\pi k}{n}\right).

Passo 5

Substituindo essa igualdade em (Passo 4) cancela-se o produto \prod_{k=1}^{(n-1)/2}\sin(\pi k/n) nos dois lados, obtendo-se a identidade simples e muito útil (válida para todo n ímpar):
\prod_{k=1}^{(n-1)/2}\cos\!\left(\frac{\pi k}{n}\right)=2^{-(n-1)/2}.
Isto é, o produto dos cossenos das frações \dfrac{\pi k}{n} para k=1,\dots,(n-1)/2 vale 1/2^{(n-1)/2}.
(Um rápido cheque em casos pequenos: para n=5 obtemos \cos(\pi/5)\cos(2\pi/5)=2^{-2}=1/4, que bate com valores numéricos conhecidos — bom sinal.)

Passo 6

Aplicando a identidade do Passo 5 ao nosso caso n=11 (aqui (n-1)/2=5) obtemos
\prod_{k=1}^{5}\cos\!\left(\frac{\pi k}{11}\right)=2^{-5}=\frac{1}{32}.
Portanto podemos identificar r=1 e s=32, que são primos entre si.

Passo 7

Calculamos então
r+s=1+32=33.

Resposta

33

Exercícios relacionados