Problema 06. (American Regions Mathematics League - adaptada) Sabendo que o valor da expressão
pode ser escrito da forma
onde
es são inteiros positivos primos entre si. O valor de (
) é igual a:
a) 17
b) 33
c) 65
d) 129
e) 257
a) 17
b) 33
c) 65
d) 129
e) 257
Passo 1
O enunciado dá o produto
e pede escrever esse valor na forma
com
e
inteiros positivos primos entre si, e então encontrar
. As alternativas são:
a) \quad b)
\quad c)
\quad d)
\quad e)
.
a)
Passo 2
Vamos definir uma notação conveniente. Para
ímpar, defina os ângulos
No nosso caso específico
e queremos
.
Passo 3
Use a identidade trigonométrica básica
Aplicando essa identidade a
para cada
obtemos
Agora multiplicamos essas igualdades para todos
. O lado esquerdo fica o produto dos
e o direito é
. Assim:
Passo 4
Reescrevendo
obtemos
Note agora um fato importante sobre o conjunto dos índices
quando
é ímpar: como
, a multiplicação por
modulo
permuta os resíduos
. Em particular, a aplicação
envia a coleção
em si mesma (apenas em outra ordem), porque não sobra nenhum dos índices simétricos fora do intervalo e não há colisões por invertibilidade de
módulo
. Logo os valores
são exatamente, em alguma ordem, os valores
Portanto os dois produtos são iguais:
Passo 5
Substituindo essa igualdade em (Passo 4) cancela-se o produto
nos dois lados, obtendo-se a identidade simples e muito útil (válida para todo
ímpar):
Isto é, o produto dos cossenos das frações
para
vale
.
(Um rápido cheque em casos pequenos: para
obtemos
, que bate com valores numéricos conhecidos — bom sinal.)
Passo 6
Aplicando a identidade do Passo 5 ao nosso caso
(aqui
) obtemos
Portanto podemos identificar
e
, que são primos entre si.
Passo 7
Calculamos então
Resposta
33