Problema 07. (Nó cego) O polinômio
satisfaz as seguintes condições:
- As raizes de
são da forma
para
II. Todos os coeficientes
para
são inteiros
III. O máximo divisor comum entre os valores absolutos de
é igual a 1 .
Sabendo que
, então a soma dos algarismos de
é igual a:
a) 12
b) 15
c) 18
d) 20
e) 24
II. Todos os coeficientes
III. O máximo divisor comum entre os valores absolutos de
a) 12
b) 15
c) 18
d) 20
e) 24
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Nos é dado um polinômio
. - Condições dadas:
- As raízes de
são para . - Todos os coeficientes
para são inteiros (pela condição III usa-se tomada de gcd com também). -
.
- As raízes de
- O que o exercício pede:
- Calcular
. - Encontrar a soma dos algarismos de
e escolher a alternativa correta.
- Calcular
A partir destas informações vamos achar explicitamente o polinômio com essas raízes (ele é único até sinal/escala inteira que respeite as condições) e então calcular
.
Passo 2
Ligando as raízes com raízes de unidade (ideia chave, explicada passo a passo):
- Seja
uma raiz primitiva 11-ésima da unidade. Então e . - A cyclotomic polynomial para
(já que é primo) é . Para qualquer raiz válida temos , i.e. - Multiplicando por
obtemos que se rearranja como - Agora note que, para
, é um polinômio em (porque satisfaz a recorrência com , ). Vou listar explicitamente em termos de (essas expressões podem ser obtidas por indução usando a recorrência): - Substituindo na soma
obtemos - Agora somamos termo a termo: o termo constante
cancela, e agrupando graus, obtemos a equação polinomial em
Essa é a relação que satisfaz
para
.
Passo 3
Passando de
para as raízes do polinômio pedido:
- As raízes dadas no enunciado são
. Mas . - Logo, se
satisfaz substituindo (onde ) obtemos o polinômio em que tem exatamente as raízes pedidas. - Façamos a substituição
: - Calculando cada termo com calma:
- Assim o polinômio é
- Portanto um polinômio com as raízes
para é - Observações que confirmam as condições: todos os coeficientes são inteiros e
(porque existe ), logo a condição (III) também está satisfeita — assim este atende às condições do enunciado e é o polinômio que devemos usar.
Passo 4
Agora vamos calcular
avaliando
nos inteiros
passo a passo, mostrando as contas sem pular etapas.
-
Primeiro,
: -
Agora
. Substituindo em cada termo: Calculando:Somando na ordem:Logo -
Agora
. Substituindo : Calculemos potência a potência:Substituindo:Agora as multiplicações:EntãoSimplificando:Logo -
Finalmente
. Substituindo : Potências:Multiplicações:Substituindo:Somando em ordem:Logo
Passo 5
Somando os valores encontrados:
Somando passo a passo:
Logo
A soma dos algarismos de
é
Resposta
12