Problema 07. (Nó cego) O polinômio Q(x)=a_{5} x^{5}+a_{4} x^{4}+a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} satisfaz as seguintes condições:
  1. As raizes de Q(x) são da forma \cos \left(\frac{2 k \pi}{11}\right) para k=\{1,2,3,4,5\}
    II. Todos os coeficientes a_{i} para i=\{1,2,3,4,5\} são inteiros
    III. O máximo divisor comum entre os valores absolutos de a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5} é igual a 1 .
Sabendo que S=\sum_{k=0}^{3} Q(k), então a soma dos algarismos de S é igual a:
a) 12
b) 15
c) 18
d) 20
e) 24

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Nos é dado um polinômio Q(x)=a_{5} x^{5}+a_{4} x^{4}+a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}.
  • Condições dadas:
    • As raízes de Q(x) são \cos\!\left(\dfrac{2k\pi}{11}\right) para k=\{1,2,3,4,5\}.
    • Todos os coeficientes a_{i} para i=\{0,1,2,3,4,5\} são inteiros (pela condição III usa-se tomada de gcd com a_0 também).
    • \gcd\big(|a_0|,|a_1|,|a_2|,|a_3|,|a_4|,|a_5|\big)=1.
  • O que o exercício pede:
    • Calcular S=\sum_{k=0}^{3} Q(k)=Q(0)+Q(1)+Q(2)+Q(3).
    • Encontrar a soma dos algarismos de S e escolher a alternativa correta.
A partir destas informações vamos achar explicitamente o polinômio com essas raízes (ele é único até sinal/escala inteira que respeite as condições) e então calcular S.

Passo 2

Ligando as raízes com raízes de unidade (ideia chave, explicada passo a passo):
  • Seja \zeta=\mathrm{e}^{2\pi i/11} uma raiz primitiva 11-ésima da unidade. Então \zeta^{11}=1 e \zeta\neq1.
  • A cyclotomic polynomial para 11 (já que 11 é primo) é \Phi_{11}(z)=1+z+z^{2}+\cdots+z^{10}. Para qualquer raiz \zeta válida temos \Phi_{11}(\zeta)=0, i.e. 1+\zeta+\zeta^{2}+\cdots+\zeta^{10}=0.
  • Multiplicando por \zeta^{-5} obtemos \zeta^{-5}+\zeta^{-4}+\cdots+\zeta^{0}+\cdots+\zeta^{5}=0,que se rearranja como 1+\sum_{m=1}^{5}\big(\zeta^{m}+\zeta^{-m}\big)=0.
  • Agora note que, para m\ge1, S_{m}:=\zeta^{m}+\zeta^{-m}é um polinômio em y:=\zeta+\zeta^{-1} (porque S_{m} satisfaz a recorrência S_{m+1}=yS_{m}-S_{m-1} com S_{0}=2, S_{1}=y). Vou listar explicitamente S_{m} em termos de y (essas expressões podem ser obtidas por indução usando a recorrência): \begin{aligned} S_{1}&=y,\\\ S_{2}&=y^{2}-2,\\\ S_{3}&=y^{3}-3y,\\\ S_{4}&=y^{4}-4y^{2}+2,\\\ S_{5}&=y^{5}-5y^{3}+5y. \end{aligned}
  • Substituindo na soma 1+\sum_{m=1}^{5}S_{m}=0 obtemos 1+\big(y + (y^{2}-2) + (y^{3}-3y) + (y^{4}-4y^{2}+2) + (y^{5}-5y^{3}+5y)\big)=0.
  • Agora somamos termo a termo: o termo constante -2 + 2 cancela, e agrupando graus, obtemos a equação polinomial em y y^{5}+y^{4}-4y^{3}-3y^{2}+3y+1=0.
Essa é a relação que satisfaz y=\zeta^{k}+\zeta^{-k} para k=1,\dots,5.

Passo 3

Passando de y=\zeta^{k}+\zeta^{-k} para as raízes do polinômio pedido:
  • As raízes dadas no enunciado são t=\cos\!\left(\dfrac{2k\pi}{11}\right). Mas \cos\!\left(\dfrac{2k\pi}{11}\right)=\dfrac{\zeta^{k}+\zeta^{-k}}{2}=\dfrac{y}{2}.
  • Logo, se y satisfaz y^{5}+y^{4}-4y^{3}-3y^{2}+3y+1=0,substituindo y=2x (onde x=\cos\!\left(\dfrac{2k\pi}{11}\right)) obtemos o polinômio em x que tem exatamente as raízes pedidas.
  • Façamos a substituição y=2x: (2x)^{5}+(2x)^{4}-4(2x)^{3}-3(2x)^{2}+3(2x)+1=0.
  • Calculando cada termo com calma: \begin{aligned} (2x)^{5}&=32x^{5},\\\ (2x)^{4}&=16x^{4},\\\\ -4(2x)^{3}&=-32x^{3},\\\\ -3(2x)^{2}&=-12x^{2},\\\\ 3(2x)&=6x. \end{aligned}
  • Assim o polinômio é 32x^{5}+16x^{4}-32x^{3}-12x^{2}+6x+1=0.
  • Portanto um polinômio com as raízes \cos\!\left(\dfrac{2k\pi}{11}\right) para k=1,\dots,5 é Q(x)=32x^{5}+16x^{4}-32x^{3}-12x^{2}+6x+1.
  • Observações que confirmam as condições: todos os coeficientes são inteiros e \gcd(32,16,32,12,6,1)=1 (porque existe 1), logo a condição (III) também está satisfeita — assim este Q(x) atende às condições do enunciado e é o polinômio que devemos usar.

Passo 4

Agora vamos calcular S=Q(0)+Q(1)+Q(2)+Q(3) avaliando Q nos inteiros \\\ 0,1,2,3 passo a passo, mostrando as contas sem pular etapas.
  • Primeiro, Q(0):
    Q(0)=1.
  • Agora Q(1). Substituindo x=1 em cada termo:
    Q(1)=32\cdot1^{5}+16\cdot1^{4}-32\cdot1^{3}-12\cdot1^{2}+6\cdot1+1.
    Calculando:
    Q(1)=32+16-32-12+6+1.
    Somando na ordem:
    32+16=48,\quad 48-32=16,\quad 16-12=4,\quad 4+6=10,\quad 10+1=11.
    Logo
    Q(1)=11.
  • Agora Q(2). Substituindo x=2:
    Q(2)=32\cdot2^{5}+16\cdot2^{4}-32\cdot2^{3}-12\cdot2^{2}+6\cdot2+1.
    Calculemos potência a potência:
    2^{5}=32,\quad 2^{4}=16,\quad 2^{3}=8,\quad 2^{2}=4.
    Substituindo:
    Q(2)=32\cdot32+16\cdot16-32\cdot8-12\cdot4+12+1.
    Agora as multiplicações:
    32\cdot32=1024,\quad 16\cdot16=256,\quad 32\cdot8=256,\quad 12\cdot4=48.
    Então
    Q(2)=1024+256-256-48+12+1.
    Simplificando:
    1024+256=1280,\quad 1280-256=1024,\quad 1024-48=976,\quad 976+12=988,\quad 988+1=989.
    Logo
    Q(2)=989.
  • Finalmente Q(3). Substituindo x=3:
    Q(3)=32\cdot3^{5}+16\cdot3^{4}-32\cdot3^{3}-12\cdot3^{2}+6\cdot3+1.
    Potências:
    3^{2}=9,\quad 3^{3}=27,\quad 3^{4}=81,\quad 3^{5}=243.
    Multiplicações:
    32\cdot243=7776,\quad 16\cdot81=1296,\quad 32\cdot27=864,\quad 12\cdot9=108.
    Substituindo:
    Q(3)=7776+1296-864-108+18+1.
    Somando em ordem:
    7776+1296=9072,\quad 9072-864=8208,\quad 8208-108=8100,\quad 8100+18=8118,\quad 8118+1=8119.
    Logo
    Q(3)=8119.

Passo 5

Somando os valores encontrados:
S=Q(0)+Q(1)+Q(2)+Q(3)=1+11+989+8119.
Somando passo a passo:
1+11=12,\quad 12+989=1001,\quad 1001+8119=9120.
Logo
S=9120.
A soma dos algarismos de S é
9+1+2+0=12.

Resposta

12

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