Problema 08. (Nó cego) Seja \mathrm{T}(\mathrm{x}) um polinômio do terceiro grau com coeficientes inteiros e \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) é uma de suas raízes. Sabendo que o valor absoluto do resultado de \frac{T(1)}{T(-1)} pode ser escrito da forma p/q com p e q números inteiros positivos primos entre si, então o valor de 9^{1+\log _{3}(p+q)} é igual a:
a) 144
b) 256
c) 396
d) 414
e)576
Passo 1
O enunciado nos dá as informações seguintes:
T(x) é um polinômio de grau 3 com coeficientes inteiros.
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{7}\right) é uma raiz de T(x).
O valor absoluto de \dfrac{T(1)}{T(-1)} pode ser escrito como \dfrac{p}{q}, com p e q inteiros positivos e coprimos.
A pergunta final é: qual é o valor de
9^{\,1+\log_{3}(p+q)}?
As alternativas fornecidas são 144,256,396,414,576.
Passo 2
Vamos encontrar um polinômio de grau 3 com coeficientes inteiros que tenha \cos\!\left(\dfrac{\pi}{7}\right) como raiz (ou seja, o polinômio minimal ou um múltiplo inteiro desse minimal). Uma maneira clássica é usar a identidade de múltiplo de cosseno (fato ligado aos polinômios de Chebyshev):
Para c=\cos\theta vale a fórmula
\cos(7\theta)=64c^{7}-112c^{5}+56c^{3}-7c.
Tomando \theta=\dfrac{\pi}{7} obtemos \cos(7\theta)=\cos\pi=-1. Logo
64c^{7}-112c^{5}+56c^{3}-7c = -1,
ou seja
64c^{7}-112c^{5}+56c^{3}-7c+1=0.
Esse polinômio de grau 7 tem como raízes \cos\!\left(\dfrac{k\pi}{7}\right) para k=1,2,\dots,6 (exceto que há simetrias que reduzem). Observando as simetrias das funções cosseno (por exemplo \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta) e agrupando as raízes, esse polinômio de grau 7 se fatoriza em fatores de grau menor; entre esses fatores aparece um fator cúbico cujo conjunto de raízes é exatamente
Esse fator cúbico, cujo coeficientes são inteiros, é
m(x)=8x^{3}-4x^{2}-4x+1.
(Para quem gosta: pode verificar a fatoração explícita do heptiquarto grau e confirmar que este cúbico divide o polinômio de grau 7. Também basta verificar que m\!\big(\cos(\pi/7)\big)=0 numericamente ou por relações trigonométricas previamente descritas.)
Portanto \cos\!\left(\dfrac{\pi}{7}\right) é raiz do polinômio inteiro de grau 3
m(x)=8x^{3}-4x^{2}-4x+1.
Passo 3
Como T(x) é um polinômio de grau 3 com coeficientes inteiros e \cos\!\left(\dfrac{\pi}{7}\right) é raiz de T, o polinômio T(x) deve ser um múltiplo inteiro de m(x). Ou seja, existe k\in\mathbb{Z}, k\neq0, tal que