a) Obtenha a fatoração \mathbf{P A}=\mathbf{L U} utilizando pivotamento parcial simples.
b) Utilize a fatoração obtida em (a) para resolver o sistema \mathbf{A x}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1\end{array}\right]^{\top}.
Passo 1
O enunciado pede, para cada uma das duas matrizes dadas, duas coisas:
(a) Obter uma fatoração com pivotamento parcial simples da forma \mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U}, ou seja, encontrar uma matriz permutação \mathbf{P}, uma matriz triangular inferior unitária \mathbf{L} e uma matriz triangular superior \mathbf{U} tais que \mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U}.
(b) Usar essa fatoração para resolver o sistema linear \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} com \mathbf{b}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1\end{array}\right]^{\top}.
Informações relevantes: devemos aplicar pivotamento parcial (ou seja, em cada coluna escolher, entre as linhas abaixo do pivô atual, a linha com maior valor absoluto no elemento dessa coluna e trocar linhas quando necessário), recolher os multiplicadores na \mathbf{L} e obter \mathbf{U}. Para resolver \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} com a fatoração \mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U} seguimos os passos: computar \mathbf{P}\mathbf{b}, resolver \mathbf{L}\mathbf{y}=\mathbf{P}\mathbf{b} por substituição direta (forward substitution) e depois \mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{y} por substituição retroativa (back substitution).]
Passo 2
Breve explicação didática do método (pivotamento parcial e fatoração LU) antes de aplicar aos casos concretos.
Pivotamento parcial: na coluna k escolhemos, entre as linhas k,k+1,\dots,n, a linha com maior |a_{ik}|. Se essa linha não for a linha k, trocamos as linhas. Esse procedimento evita divisões por números muito pequenos e melhora estabilidade numérica.
Como montar \mathbf{L} e \mathbf{U}: durante a eliminação gaussiana (com as trocas de linha conforme necessário), os multiplicadores m_{ik}=\dfrac{a_{ik}}{a_{kk}} usados para zerar a_{ik} (com i>k) são colocados na entrada (i,k) de \mathbf{L}. A matriz \mathbf{U} é a matriz resultante após todos os passos de eliminação (triangular superior). \mathbf{L} tem 1 na diagonal principal.
Resolução do sistema: uma vez que \mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U}, temos \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\Rightarrow \mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{P}\mathbf{b}\Rightarrow \mathbf{L}\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{P}\mathbf{b}. Primeiro resolvemos \mathbf{L}\mathbf{y}=\mathbf{P}\mathbf{b} (forward), depois \mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{y} (back).
Primeiro pivô (coluna 1): entre os elementos das linhas 1 a 3 na coluna 1 temos |0|,|0|,|1|. O maior valor absoluto é 1 na linha 3. Então trocamos a linha 1 com a linha 3. Isso corresponde a aplicar uma matriz permutação parcial. Após essa troca obtemos:
Registo: até aqui a permutação aplica a ordem das linhas original para [3,2,1].]
Passo 4
Continuando (i): eliminação na coluna 1. Os elementos abaixo do pivô (linha 1) na coluna 1 são 0 e 0, ou seja, já são zero. Portanto os multiplicadores para zerar essas entradas são m_{21}=0 e m_{31}=0. Não há alteração das linhas nesta etapa. A matriz permanece
Ainda (i): agora coluna 2, entre as linhas 2 e 3 (linhas abaixo do pivô 2) comparamos |-1|=1 e |2|=2. O maior é 2 na linha 3, então trocamos a linha 2 com a linha 3. Após essa troca obtemos:
Montagem da \mathbf{L} e da \mathbf{P} para (i). Os multiplicadores usados foram:
Na coluna 1: m_{21}=0,\; m_{31}=0.
Na coluna 2 (após as trocas): m_{32}=-\tfrac{1}{2}.
A permutação total aplicada às linhas originais foi primeiro trocar 1↔3 e depois 2↔3, o que leva a ordem final das linhas originais para [3,1,2]. A matriz permutação correspondente é a que envia as linhas originais para essa ordem:
A matriz \mathbf{L} (unitária na diagonal) coloca os multiplicadores nas posições correspondentes ao processo de eliminação já considerando as trocas; assim obtemos
Da terceira equação: (y_3 = \tfrac{1}{2}y_2 = \tfrac{1}{2}\cdot(-1)=-\tfrac{1}{2}]. Assim \mathbf{y}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]
Passo 9
Agora resolvemos \mathbf{U}^{(i)}\mathbf{x}=\mathbf{y} por substituição retroativa. \mathbf{U}^{(i)} é
Coluna 2 (ii): entre as linhas 2 e 3 os elementos na coluna 2 são \tfrac{1}{2} e \tfrac{5}{2}. O maior em valor absoluto é \tfrac{5}{2} (linha 3), então trocamos a linha 2 com a linha 3. Após troca:
verificando-se que \mathbf{L}^{(ii)}\mathbf{U}^{(ii)}=\mathbf{P}^{(ii)}\mathbf{A}^{(ii)}.]
Passo 15
Resolução do sistema para (ii) usando a fatoração. Primeiro \mathbf{P}^{(ii)}\mathbf{b}\):
\[\mathbf{P}^{(ii)}\mathbf{b}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\\[4pt]1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Resolvemos \mathbf{L}^{(ii)}\mathbf{y}=\mathbf{P}^{(ii)}\mathbf{b}. As equações são: