Problema 29. Seja
uma fórmula de quadratura para aproximação da integral
. Provar que a n-ésima fórmula de quadratura composta, baseada em
pode ser representada como
, onde
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, dado um operador de quadratura linear Q que aproxima
, a sua versão composta em
subintervalos é exatamente
, onde
. Vamos usar mudança de variável em cada subintervalo e a linearidade de
.
Passo 2
Dividimos
em
pedaços
. Em cada um, fazemos a mudança
que dá
Como
aproxima integrals em
, ao aplicá-lo à função
obtemos a quadratura no subintervalo.
Passo 3
Somando sobre todos os
e usando a representação de
por nós
e pesos
, temos
Trocando a soma em
com a soma em
e reconhecendo
nos leva a
Resposta
A n-ésima fórmula de quadratura composta baseada em Q é exatamente Q(\varphi_n).