Problema 29. Seja Q(f) uma fórmula de quadratura para aproximação da integral integral0^1 f(x) d x. Provar que a n-ésima fórmula de quadratura composta, baseada em Q(f) pode ser representada como varphin(x):=1n sumk=0^n-1 f(k+xn) , onde

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, dado um operador de quadratura linear Q que aproxima integral0^1 f(x),dx, a sua versão composta em n subintervalos é exatamente Q(varphin), onde
varphin(x)=1nsumk=0^n-1fl(tfrack+xnr). Vamos usar mudança de variável em cada subintervalo e a linearidade de Q.

Passo 2

Dividimos [0,1] em n pedaços [k/n,(k+1)/n]. Em cada um, fazemos a mudança
x=k+un, dx=dun,
que dá
integralk/n^(k+1)/nf(x),dx=1nintegral0^1fl(tfrack+unr)du
Como Q aproxima integrals em [0,1], ao aplicá-lo à função umapsto fl((k+u)/nr) obtemos a quadratura no subintervalo.

Passo 3

Somando sobre todos os k=0,dots,n-1 e usando a representação de Q por nós xi e pesos wi, temos
Qn(f)=sumk=0^n-1Ql(umapsto fl(tfrack+unr)r) =sumk=0^n-1sumi=1^m wi,fl(tfrack+xinr)1n
Trocando a soma em k com a soma em i e reconhecendo
1nsumk=0^n-1fl(tfrack+xinr)=varphin(xi),
nos leva a
Qn(f)=sumi=1^m wi,varphin(xi)=Q(varphin)

Resposta

A n-ésima fórmula de quadratura composta baseada em Q é exatamente Q(\varphi_n).

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