Problema 27. Provar que a fórmula de quadratura
possiu grau de precisão algébrica cinco.
Passo 1
A questão pede pra gente mostrar que a regra de quadratura
tem grau de precisão algébrica 5. Isso significa que a fórmula é exata para todo polinômio de grau ≤5. Vamos usar a definição de precisão algébrica e testar monômios.
Passo 2
Para definir grau de precisão algébrica, a gente bate a aproximação com o valor exato de
para todo k = 0,1,2,3,4,5. Se der igualdade em todos esses casos, o grau de precisão é pelo menos 5.
Passo 3
Testando k = 0, ou seja f(x)=1:
Valor exato:
Na fórmula: f(0)=1, f(h)=1, f’(0)=f’(h)=0, f’’(0)=f’’(h)=0. Logo
e os termos com derivadas somam zero. Dá exato h.
Passo 4
Testando k = 1, ou seja f(x)=x:
Valor exato:
Aqui f(0)=0, f(h)=h, f’(0)=f’(h)=1, f’’(0)=f’’(h)=0. Substituindo:
e o termo de segunda derivada some. Dá exato h^2/2.
Passo 5
Testando k = 2, ou seja f(x)=x^2:
Valor exato:
Temos f(0)=0, f(h)=h^2, f’(x)=2x ⇒ f’(0)=0, f’(h)=2h, f’’(x)=2 ⇒ f’’(0)=f’’(h)=2. Substituindo:
Passo 6
Testando k = 3, ou seja f(x)=x^3:
Valor exato:
Aqui f(0)=0, f(h)=h^3, f’(x)=3x^2 ⇒ f’(0)=0, f’(h)=3h^2, f’’(x)=6x ⇒ f’’(0)=0, f’’(h)=6h. Substituindo:
Passo 7
Testando k = 4, ou seja f(x)=x^4:
Valor exato:
f(0)=0, f(h)=h^4, f’(x)=4x^3 ⇒ f’(0)=0, f’(h)=4h^3, f’’(x)=12x^2 ⇒ f’’(0)=0, f’’(h)=12h^2. Substituindo:
Passo 8
Testando k = 5, ou seja f(x)=x^5:
Valor exato:
f(0)=0, f(h)=h^5, f’(x)=5x^4 ⇒ f’(0)=0, f’(h)=5h^4, f’’(x)=20x^3 ⇒ f’’(0)=0, f’’(h)=20h^3. Substituindo:
Passo 9
Como a fórmula é exata para todos os monômios de grau 0 a 5, a precisão algébrica dela é 5.
Resposta
A fórmula tem grau de precisão algébrica 5.