Problema 27. Provar que a fórmula de quadratura
integral0^h f(x) d x approx h2[f(0)+f(h)]+h^210[f^prime(0)-f^prime(h)]+h^3120[f^prime prime(0)+f^prime prime(h)]
possiu grau de precisão algébrica cinco.

Passo 1

A questão pede pra gente mostrar que a regra de quadratura
integral0^h f(x),dx approx h2[f(0)+f(h)] + h^210l[f'(0)-f'(h)r] + h^3120l[f''(0)+f''(h)r]
tem grau de precisão algébrica 5. Isso significa que a fórmula é exata para todo polinômio de grau ≤5. Vamos usar a definição de precisão algébrica e testar monômios.

Passo 2

Para definir grau de precisão algébrica, a gente bate a aproximação com o valor exato de
integral0^h x^k,dx
para todo k = 0,1,2,3,4,5. Se der igualdade em todos esses casos, o grau de precisão é pelo menos 5.

Passo 3

Testando k = 0, ou seja f(x)=1:
Valor exato:
integral0^h 1,dx = h
Na fórmula: f(0)=1, f(h)=1, f’(0)=f’(h)=0, f’’(0)=f’’(h)=0. Logo
h2(1+1) = h,
e os termos com derivadas somam zero. Dá exato h.

Passo 4

Testando k = 1, ou seja f(x)=x:
Valor exato:
integral0^h x,dx = h^22
Aqui f(0)=0, f(h)=h, f’(0)=f’(h)=1, f’’(0)=f’’(h)=0. Substituindo:
h2(0+h) + h^210(1-1) = h^22,
e o termo de segunda derivada some. Dá exato h^2/2.

Passo 5

Testando k = 2, ou seja f(x)=x^2:
Valor exato:
integral0^h x^2,dx = h^33
Temos f(0)=0, f(h)=h^2, f’(x)=2x ⇒ f’(0)=0, f’(h)=2h, f’’(x)=2 ⇒ f’’(0)=f’’(h)=2. Substituindo:
h2h^2 + h^210(0-2h) + h^3120(2+2) = h^32 - 2h^310 + 4h^3120 = 5h^3-2h^310 + h^330 = 3h^310 + h^330 = h^33

Passo 6

Testando k = 3, ou seja f(x)=x^3:
Valor exato:
integral0^h x^3,dx = h^44
Aqui f(0)=0, f(h)=h^3, f’(x)=3x^2 ⇒ f’(0)=0, f’(h)=3h^2, f’’(x)=6x ⇒ f’’(0)=0, f’’(h)=6h. Substituindo:
h2h^3 + h^210(0-3h^2) + h^3120(0+6h) = h^42 - 3h^410 + 6h^4120 = 5h^4-3h^410 + h^420 = 2h^410 + h^420 = h^44

Passo 7

Testando k = 4, ou seja f(x)=x^4:
Valor exato:
integral0^h x^4,dx = h^55
f(0)=0, f(h)=h^4, f’(x)=4x^3 ⇒ f’(0)=0, f’(h)=4h^3, f’’(x)=12x^2 ⇒ f’’(0)=0, f’’(h)=12h^2. Substituindo:
h2h^4 + h^210(0-4h^3) + h^3120(0+12h^2) = h^52 - 4h^510 + 12h^5120 = 5h^5-4h^510 + h^510 = h^510 + h^510 = h^55

Passo 8

Testando k = 5, ou seja f(x)=x^5:
Valor exato:
integral0^h x^5,dx = h^66
f(0)=0, f(h)=h^5, f’(x)=5x^4 ⇒ f’(0)=0, f’(h)=5h^4, f’’(x)=20x^3 ⇒ f’’(0)=0, f’’(h)=20h^3. Substituindo:
h2h^5 + h^210(0-5h^4) + h^3120(0+20h^3) = h^62 - 5h^610 + 20h^6120 = 0 + h^66 = h^66

Passo 9

Como a fórmula é exata para todos os monômios de grau 0 a 5, a precisão algébrica dela é 5.

Resposta

A fórmula tem grau de precisão algébrica 5.

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