Problema 31. Provar que os coeficientes aj da fórmula de quadratura
Q(f)=sumj=1^n aj f(xj)
podem ser representados através das fórmulas
aj=(-1)^r[Kr^(r-1)(Q ; xj+0)-Kr^(r-1)(Q ; xj-0)], j=1, ldots, n

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um fórmula de quadratura
Q(f)=sumj=1^naj,f(xj)
que é exata para polinômios de grau ≤r−1, os pesos a_j aparecem como salto da derivada de ordem r−1 do núcleo de Peano K_r. Vamos usar a representação do erro por meio desse núcleo e estudar seu comportamento em torno de cada nó x_j.

Passo 2

Como a fórmula é exata para toda f∈P_{r−1}, vale a representação (Fórmula de Peano):
Q(f)-integrala^b f(x),dx=integrala^b Kr(t),f^(r)(t),dt
onde o núcleo de Peano é dado por
Kr(t)=sumj=1^n aj,(xj-t)+^r-1(r-1)!-(b-t)+^r- (a-t)+^rr!

Passo 3

Note que cada termo (xj - t)+^r-1 é um polinômio de grau r−1 em t para t<x_j e zero para t>x_j. Vamos diferenciar K_r(t) r−1 vezes e observar o comportamento ao cruzar t=x_j.

Passo 4

Da teoria de funções de parte, temos em bloco:
d^r-1dt^r-1(xj - t)+^r-1=(-1)^r-1(r-1)!,H(xj - t),
onde H(·) é a função degrau de Heaviside. Os termos (b-t)+^r e (a-t)+^r geram derivadas contínuas de ordem até r−1, logo não criam salto.

Passo 5

Para t→x_j−0, o termo acima vale (-1)^r-1(r-1)!, e para t→x_j+0 vale 0. Assim, o salto da derivada r−1 do núcleo em x_j é
De

Passo 6

No núcleo completo, cada a_j multiplica esse termo, e os outros termos não contribuem no salto. Logo
De
Isolando a_j, obtemos exatamente a representação desejada.

Resposta

aj=(-1)^rl[Kr^(r-1)(Q;xj+0)-Kr^(r-1)(Q;xj-0)r].

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