Problema 31. Provar que os coeficientes
da fórmula de quadratura
podem ser representados através das fórmulas
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um fórmula de quadratura
que é exata para polinômios de grau ≤r−1, os pesos a_j aparecem como salto da derivada de ordem r−1 do núcleo de Peano K_r. Vamos usar a representação do erro por meio desse núcleo e estudar seu comportamento em torno de cada nó x_j.
Passo 2
Como a fórmula é exata para toda f∈P_{r−1}, vale a representação (Fórmula de Peano):
onde o núcleo de Peano é dado por
Passo 3
Note que cada termo
é um polinômio de grau r−1 em t para t<x_j e zero para t>x_j. Vamos diferenciar K_r(t) r−1 vezes e observar o comportamento ao cruzar t=x_j.
Passo 4
Da teoria de funções de parte, temos em bloco:
onde H(·) é a função degrau de Heaviside. Os termos
e
geram derivadas contínuas de ordem até r−1, logo não criam salto.
Passo 5
Para t→x_j−0, o termo acima vale
, e para t→x_j+0 vale 0. Assim, o salto da derivada r−1 do núcleo em x_j é
Passo 6
No núcleo completo, cada a_j multiplica esse termo, e os outros termos não contribuem no salto. Logo
Isolando a_j, obtemos exatamente a representação desejada.