Problema 28. Mostrar que a fórmula de quadratura
tem grau de precisão algébrica dois.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a fórmula de quadratura abaixo tem grau de precisão algébrica dois. O conteúdo é precisão algébrica de fórmulas numéricas de integração, e vamos precisar verificar se ela é exata para polinômios de grau até 2 e falha já em grau 3:
Passo 2
Definimos o grau de precisão algébrica de uma fórmula
como o maior
tal que a fórmula é exata para todo polinômio de grau
. Logo, vamos testar os monômios
,
e
, e em seguida verificar que
não é exato.
Passo 3
Testando
, a integral exata é
. Na fórmula temos pesos
,
,
. Calculamos:
Então ela é exata para
.
Passo 4
Testando
, a integral exata é
. Os nós são
,
,
. Calculamos:
Logo, é exata para
.
Passo 5
Testando
, a integral exata é
. Calculamos:
Portanto, é exata para
.
Passo 6
Para ver que o grau de precisão não é maior, basta checar
. A integral exata é
, mas calculando
vemos que falha para
.
Passo 7
Como ela integra exatamente monômios até o grau 2 e falha já no grau 3, concluímos que o grau de precisão algébrica é 2.
Resposta
A fórmula tem grau de precisão algébrica 2.