Problema 28. Mostrar que a fórmula de quadratura
integral0^1 f(x) d x approx 38 f(16)+2756 f(1118)+17 f(1)
tem grau de precisão algébrica dois.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a fórmula de quadratura abaixo tem grau de precisão algébrica dois. O conteúdo é precisão algébrica de fórmulas numéricas de integração, e vamos precisar verificar se ela é exata para polinômios de grau até 2 e falha já em grau 3:
integral0^1f(x),dxapprox 38fl(tfrac16r)+2756fl(tfrac1118r)+17f(1)

Passo 2

Definimos o grau de precisão algébrica de uma fórmula sumi=1^m wi f(xi) como o maior n tal que a fórmula é exata para todo polinômio de grau <= n. Logo, vamos testar os monômios f(x)=1, f(x)=x e f(x)=x^2, e em seguida verificar que x^3 não é exato.

Passo 3

Testando f(x)=1, a integral exata é integral0^1 1,dx=1. Na fórmula temos pesos w1=tfrac38, w2=tfrac2756, w3=tfrac17. Calculamos:
w1+w2+w3=38+2756+17=21+27+856=5656=1
Então ela é exata para f(x)=1.

Passo 4

Testando f(x)=x, a integral exata é integral0^1 x,dx=tfrac12. Os nós são x1=tfrac16, x2=tfrac1118, x3=1. Calculamos:
w1x1+w2x2+w3x3=38cdot16+2756cdot1118+17 =116+33112+16112 =7+33+16112=56112=12
Logo, é exata para f(x)=x.

Passo 5

Testando f(x)=x^2, a integral exata é integral0^1 x^2,dx=tfrac13. Calculamos:
w1x1^2+w2x2^2+w3x3^2 =38cdot136+2756cdot121324+17 =196+121672+96672 =7+121+96672=224672=13
Portanto, é exata para f(x)=x^2.

Passo 6

Para ver que o grau de precisão não é maior, basta checar f(x)=x^3. A integral exata é integral0^1 x^3,dx=tfrac14, mas calculando
w1x1^3+w2x2^3+w3x3^3 =38cdot1216+2756cdot13315832+17 approx0,255neq0,25
vemos que falha para x^3.

Passo 7

Como ela integra exatamente monômios até o grau 2 e falha já no grau 3, concluímos que o grau de precisão algébrica é 2.

Resposta

A fórmula tem grau de precisão algébrica 2.

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