Problema 33. Mostrar que, para o erro da fórmula de trapézio composta
|I(f)-QT^n(f)| <=(b-a) omega(f ; b-an) ,
vale a estimativa
omega(f ; de
onde
f(x)
é o módulo de continuidade da função .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a fórmula de trapézio composta em n subintervalos, o erro satisfaz a estimativa
|I(f)-QT^n(f)|<= (b-a),omegal(f;tfracb-anr)
Aqui o conteúdo é estimar o erro de quadratura usando o módulo de continuidade omega(f;de. Vamos precisar apenas da definição de módulo de continuidade e da soma dos erros em cada subintervalo.

Passo 2

Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimento h=(b-a)/n com nós
xk=a+k,h, k=0,1,dots,n
Em cada subintervalo [xk-1,xk], o valor exato da integral é
Ik=integralxk-1^xkf(x),dx
e a regra trapezoidal local é
Tk=h2l(f(xk-1)+f(xk)r)

Passo 3

Em cada subintervalo, como a regra de trapézio é exata para funções lineares, o erro local é dado pela integral da diferença entre f(x) e a reta que une f(xk-1) e f(xk). Mas essa diferença em valor absoluto é no máximo o oscilar de f num comprimento h, ou seja
|Ik-Tk|<=integralxk-1^xk|f(x)-reta|,dx<=integralxk-1^xkomega(f;h),dx =h,omega(f;h)

Passo 4

Somando os erros locais nos n subintervalos, pelo princípio da desigualdade triangular,
|I(f)-QT^n(f)|<=sumk=1^n|Ik-Tk|<=sumk=1^n h,omega(f;h)=n,h,omega(f;h)=(b-a),omegal(f;tfracb-anr)

Resposta

$ |I(f)-Q_T^n(f)|\le (b-a),\omega\bigl(f;\tfrac{b-a}n\bigr)$

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