Problema 33. Mostrar que, para o erro da fórmula de trapézio composta ,
vale a estimativa
onde
é o módulo de continuidade da função .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para a fórmula de trapézio composta em n subintervalos, o erro satisfaz a estimativa
|I(f)-QT^n(f)|<= (b-a),omegal(f;tfracb-anr)
Aqui o conteúdo é estimar o erro de quadratura usando o módulo de continuidade omega(f;de. Vamos precisar apenas da definição de módulo de continuidade e da soma dos erros em cada subintervalo.
Passo 2
Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimento h=(b-a)/n com nós
xk=a+k,h, k=0,1,dots,n
Em cada subintervalo [xk-1,xk], o valor exato da integral é
Ik=integralxk-1^xkf(x),dx
e a regra trapezoidal local é
Tk=h2l(f(xk-1)+f(xk)r)
Passo 3
Em cada subintervalo, como a regra de trapézio é exata para funções lineares, o erro local é dado pela integral da diferença entre f(x) e a reta que une f(xk-1) e f(xk). Mas essa diferença em valor absoluto é no máximo o oscilar de f num comprimento h, ou seja