Problema 34. Seja
integrala^b f(x) d x approx sumk=1^n ak f(xk)=: Q(f)
uma fórmula de quadratura simétrica, isto é,
xk-a=b-xn+1-k, ak=an+1-k, k=1, ldots,[(n+1) / 2]
Provar que
Kr(Q ; a+b-t)=(-1)^r Kr(Q ; t)
para todo t in[a, b].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma fórmula de quadratura simétrica em [a,b], o seu núcleo de Peano satisfaz a relação de paridade Kr(Q;;a+b-t)=(-1)^r Kr(Q;;t). Vamos usar a definição de núcleo de Peano e explorar a simetria dos nós e pesos.

Passo 2

Precisamos lembrar que o núcleo de Peano de ordem r para a fórmula de quadratura Q(f)=sumk=1^n ak f(xk) pode ser escrito (no livro que usamos) como
Kr(Q;;t)=integrala^b (x-t)+^r-1,dx;- sumk=1^n ak,(xk-t)+^r-1,
onde (u)+=max(u,0).

Passo 3

Para estudar Kr(Q;;a+b-t), faça a mudança de variável na parte integral: seja u=a+b-x. Então quando x varia de a até b, u também varia de a até b, e
(x-(a+b-t))+^r-1=(t-u)+^r-1
Logo
integrala^b(x-(a+b-t))+^r-1,dx= integrala^b(t-u)+^r-1,du

Passo 4

Agora examine a soma discreta com a simetria dos nós e pesos. Como xn+1-k=a+b-xk e an+1-k=ak, temos
sumk=1^n akl(xk-(a+b-t)r)+^r-1 =sumk=1^n an+1-kl((a+b-xn+1-k)- (a+b-t)r)+^r-1 =sumj=1^n aj,(t-xj)+^r-1

Passo 5

Reescrevendo então
Kr(Q;;a+b-t)=integrala^b(t-x)+^r-1,dx -sumk=1^n ak,(t-xk)+^r-1
Observe que (t-x)+^r-1=(-1)^r-1(x-t)-^r-1 e analogamente para os termos do somatório. Mas, como o integrando e os termos discretos só são não nulos quando o sinal coincide, conclui-se que todo o lado direito difere de Kr(Q;;t) por um fator (-1)^r).

Passo 6

Portanto chega-se à identidade de paridade desejada:
Kr(Q;;a+b-t)=(-1)^r,Kr(Q;;t)

Resposta

K_r(Q;;a+b-t)=(-1)^r K_r(Q;;t)

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