Problema 34. Seja
uma fórmula de quadratura simétrica, isto é,
Provar que
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma fórmula de quadratura simétrica em [a,b], o seu núcleo de Peano satisfaz a relação de paridade
. Vamos usar a definição de núcleo de Peano e explorar a simetria dos nós e pesos.
Passo 2
Precisamos lembrar que o núcleo de Peano de ordem
para a fórmula de quadratura
pode ser escrito (no livro que usamos) como
onde
.
Passo 3
Para estudar
, faça a mudança de variável na parte integral: seja
. Então quando
varia de
até
,
também varia de
até
, e
Logo
Passo 4
Agora examine a soma discreta com a simetria dos nós e pesos. Como
e
, temos
Passo 5
Reescrevendo então
Observe que
e analogamente para os termos do somatório. Mas, como o integrando e os termos discretos só são não nulos quando o sinal coincide, conclui-se que todo o lado direito difere de
por um fator
.
Passo 6
Portanto chega-se à identidade de paridade desejada:
Resposta
K_r(Q;;a+b-t)=(-1)^r K_r(Q;;t)