Problema 49. Se f in C^2[0,1], prove que existe um ponto xi in[0,1], tal que
integral0^1 f(x) d x-12[f(1 / 3)+f(2 / 3)]=f(xi)36

Passo 1

Vamos provar que existe xiin[0,1] tal que
integral0^1f(x),dx-tfrac12l[f(1/3)+f(2/3)r]=f''(xi)36
O conteúdo que vamos usar é o teorema do valor médio de Cauchy para funcionais lineares (ou forma especial do teorema de Peano para erros de fórmulas de quadratura), mostrando que o erro é dado por uma derivada de segunda ordem avaliada em algum ponto.

Passo 2

Definimos o funcional de erro
E(g)=integral0^1g(x),dx-tfrac12l[g(1/3)+g(2/3)r]
Note que E é linear e satisfaz
E(1)=0,
pois integral0^1 1,dx=1 e tfrac12[1+1]=1, e
E(x)=0,
pois integral0^1 x,dx=tfrac12 e tfrac12[(1/3)+(2/3)]=tfrac12. Logo E zera todos os polinômios de grau ≤1.

Passo 3

Pelo teorema de Cauchy para funcionais lineares (ou pelo teorema de Peano), se um funcional E é linear, contínuo em C^2[0,1] e anula os polinômios de grau ≤1, então existe xiin[0,1] tal que
E(f)=f''(xi)2!,E(x^2)
Isto é análogo ao teorema de Taylor com resto de Peano aplicado ao funcional de quadratura.

Passo 4

Calculamos agora
E(x^2)=integral0^1x^2,dx-tfrac12l[(1/3)^2+(2/3)^2r] =tfrac13-tfrac12l(tfrac19+tfrac49r) =tfrac13-tfrac518 =tfrac6-518 =tfrac118

Passo 5

Substituindo em
E(f)=f''(xi)2,E(x^2) =f''(xi)2cdot118 =f''(xi)36,
concluímos exatamente a fórmula desejada.

Passo 6

Portanto existe xiin[0,1] tal que
integral0^1f(x),dx-tfrac12l[f(1/3)+f(2/3)r]=f''(xi)36

Resposta

integral0^1f(x),dx-tfrac12[f(1/3)+f(2/3)]=dfracf''(xi)36

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