Problema 49. Se
, prove que existe um ponto
, tal que
Passo 1
Vamos provar que existe
tal que
O conteúdo que vamos usar é o teorema do valor médio de Cauchy para funcionais lineares (ou forma especial do teorema de Peano para erros de fórmulas de quadratura), mostrando que o erro é dado por uma derivada de segunda ordem avaliada em algum ponto.
Passo 2
Definimos o funcional de erro
Note que
é linear e satisfaz
pois
e
, e
pois
e
. Logo
zera todos os polinômios de grau ≤1.
Passo 3
Pelo teorema de Cauchy para funcionais lineares (ou pelo teorema de Peano), se um funcional
é linear, contínuo em
e anula os polinômios de grau ≤1, então existe
tal que
Isto é análogo ao teorema de Taylor com resto de Peano aplicado ao funcional de quadratura.
Passo 4
Calculamos agora
Passo 5
Substituindo em
concluímos exatamente a fórmula desejada.
Passo 6
Portanto existe
tal que