Problema 37. Seja uma fórmula de quadratura com grau de precisão algébrica , para cálculo aproximado da integral . Se para o erro desta fórmula em , vale a desigualdade
prove que para a n-ésima fórmula composta Qn(f), obtida através de Q(f), vale a estimativa
sup f in Winfty^r[a, b]|integrala^b f(x) d x-Qn(f)| <= An^r
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma fórmula de quadratura Q em [a,b] tem grau de precisão algébrica ≥ m−1 e satisfaz para todo f∈W_{∞}^{r}[a,b] (1≤r≤m) a estimativa supfin W∞^r[a,b]l|!integrala^b f(x),dx - Q(f)r|<= A, então a sua versão composta em n subintervalos devolve o erro O(n^-r), isto é,
Se redefinirmos a constante de forma a absorver o fator (b-a) — ou, nos casos práticos, trabalharmos sempre em escalas onde b-a=1 — vemos que o erro global cai como O(n^-r) para qualquer r<= m.
Passo 6
Portanto, concluímos que a fórmula composta satisfaz