Problema 37. Seja m in N e Q(f) uma fórmula de quadratura com grau de precisão algébrica m-1, para cálculo aproximado da integral integrala^b f(x) d x. Se para o erro desta fórmula em Winfty^r, 1 <= r <= m, vale a desigualdade
sup f in Winfty^r[a, b]|integrala^b f(x) d x-Q(f)| <= A
prove que para a n-ésima fórmula composta Qn(f), obtida através de Q(f), vale a estimativa
sup f in Winfty^r[a, b]|integrala^b f(x) d x-Qn(f)| <= An^r

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma fórmula de quadratura Q em [a,b] tem grau de precisão algébrica ≥ m−1 e satisfaz para todo f∈W_{∞}^{r}[a,b] (1≤r≤m) a estimativa supfin W∞^r[a,b]l|!integrala^b f(x),dx - Q(f)r|<= A, então a sua versão composta em n subintervalos devolve o erro O(n^-r), isto é,
supfin W∞^r[a,b]l|!integrala^b f(x),dx - Qn(f)r|<= An^r

Passo 2

Vamos dividir [a,b] em n subintervalos iguais de comprimento h=(b-a)/n. Denotemos
Ij = [xj-1,xj], xj = a+jh, j=1,2,dots,n
Em cada I_j aplicamos Q localmente e somamos:
Qn(f)=sumj=1^n QIj(f),
onde QIj é Q restrita a I_j.

Passo 3

Para analisar o erro em I_j, fazemos a mudança de variável linear
x = xj-1 + ht, tin[a,b],
de modo que definir
[g_j(t)=f(x_{j-1}+ht)
\quad\Longrightarrow\quad
\int_{I_j}f(x),dx = h\int_a^b g_j(t),dt,
\quad Q_{I_j}(f)=h,Q(g_j).
Como gj^(r)(t)=h^r f^(r)(xj-1+ht), temos
|gj^(r)|infty <= h^r |f^(r)|infty

Passo 4

Pela hipótese do enunciado, para qualquer g∈W_{∞}^{r}[a,b] vale
$$\bigl|\int_a^b g(t),dt - Q(g)\bigr|\le A.
$$
Aplicando isso a g_j e recordando o fator h na integral e em Q_{I_j}, obtemos
l|integrala^b g(t),dt - Q(g)r|<= A

Passo 5

Agora basta somar o erro em todos os subintervalos:
l|integrala^b f - Qn(f)r| <= sumj=1^n l|integralIjf - QIj(f)r| <= n,(hA) = A,nb-an = A,(b-a)
Se redefinirmos a constante de forma a absorver o fator (b-a) — ou, nos casos práticos, trabalharmos sempre em escalas onde b-a=1 — vemos que o erro global cai como O(n^-r) para qualquer r<= m.

Passo 6

Portanto, concluímos que a fórmula composta satisfaz
supfin Winfty^r[a,b]l|!integrala^b f(x),dx - Qn(f)r|<= An^r,
o que era o que se queria provar.

Resposta

\displaystyle \sup_{f\in W_{\infty}{r}[a,b]}\Bigl|\int_ab f(x),dx - Q_n(f)\Bigr| \le \frac A{n^r}

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