Problema 2.4 (Taylor, 1989, p. 7). Determine todas as soluções de
, onde
e
são inteiros.
Passo 1
O enunciado pede todas as soluções inteiras
da equação
Isto é um problema de equação diofantina exponencial. Vamos usar argumentos de integridade (para
) e congruências (sobra de quadrados módulo 8) para restringir
, e depois testar os poucos casos restantes.
Passo 2
Primeiro, note que se
então
não é inteiro, mas
é inteiro para todo inteiro
. Logo não há solução com
. Concluímos que
Passo 3
Agora, suponha
. Então
portanto da equação
segue
Mas os quadrados inteiros módulo 8 só podem ser
(e porque
par dá
,
dá
e
dá
ou
; de modo que não aparece
). Assim não há solução para
.
Passo 4
Sobram apenas os casos
. Vamos testar um a um:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As únicas soluções inteiras são