Problema 2.4 (Taylor, 1989, p. 7). Determine todas as soluções de 2^{n}+7=x^{2}, onde n e x são inteiros.

Passo 1

O enunciado pede todas as soluções inteiras (n,x) da equação
2^{n} + 7 = x^{2}.
Isto é um problema de equação diofantina exponencial. Vamos usar argumentos de integridade (para 2^n) e congruências (sobra de quadrados módulo 8) para restringir n, e depois testar os poucos casos restantes.

Passo 2

Primeiro, note que se n<0 então
2^{n} = \frac{1}{2^{|n|}}
não é inteiro, mas x^{2}-7 é inteiro para todo inteiro x. Logo não há solução com n<0. Concluímos que n\ge0.

Passo 3

Agora, suponha n\ge3. Então
2^{n}\equiv0\pmod{8},
portanto da equação x^{2}=2^{n}+7 segue
x^{2}\equiv7\pmod{8}.
Mas os quadrados inteiros módulo 8 só podem ser
0,\;1\text{ ou }4
(e porque x par dá 0, x\equiv1,7 1 e x\equiv3,5 9\equiv1 ou 25\equiv1; de modo que não aparece 7). Assim não há solução para n\ge3.

Passo 4

Sobram apenas os casos n=0,1,2. Vamos testar um a um:
  • Para n=0:
2^{0}+7=1+7=8,\quad x^{2}=8\quad\text{sem solução inteira.}çã
  • Para n=1:
2^{1}+7=2+7=9,\quad x^{2}=9\implies x=\pm3.
  • Para n=2:
2^{2}+7=4+7=11,\quad x^{2}=11\quad\text{sem solução inteira.}çã

Resposta

As únicas soluções inteiras são
(n,x) = (1,3)\quad\text{e}\quad(1,-3).

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