Os zeros da função f(x)=x^{4}-12 x^{3}+47 x^{2}-60 x são x_{1}^{*}=0, x_{2}^{*}=3, x_{3}^{*}= 4 e x_{4}{ }^{*}=5.
(i) Calcule uma iteração do método de Newton-Raphson a partir de x_{o}=2. A sequência para convergir para que zero?
(ii) Repita o processo a partir de x_{0}=1.0 que acontece neste caso?
(iii) É possível aplicar o método da bisseção no intervalo [2,3.5] ? Justifique a resposta. No caso afirmativo, obtenha o número de iterações a partir da qual obtém-se uma aproximação de x_{2}{ }^{*}=3 a menos de 0.001.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{4}-12x^{3}+47x^{2}-60x
cujos zeros exatos são \{0,3,4,5\}. Pede-se: (i) uma iteração de Newton-Raphson a partir de x_{0}=2 e para qual zero a sequência converge; (ii) repetir a partir de x_{0}=1{,}0 e descrever o que acontece; (iii) verificar se o método da bisseção pode ser aplicado em [2,3{,}5], justificar e, em caso afirmativo, calcular o número de iterações para obter erro inferior a 0{,}001. Para Newton usamos
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
e para bisseção precisamos de f(2)\,f(3{,}5)<0 e
N\ge\frac{\ln\bigl((b-a)/\varepsilon\bigr)}{\ln(2)}.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada
f'(x)=4x^{3}-36x^{2}+94x-60.
Em x_{0}=2 temos
f(2)=2^{4}-12\cdot2^{3}+47\cdot2^{2}-60\cdot2=-12, \quad f'(2)=4\cdot2^{3}-36\cdot2^{2}+94\cdot2-60=16.
Logo a primeira iteração é
x_{1}=2-\frac{-12}{16}=2+\frac{3}{4}=2{,}75.

Passo 3

Como 2<3 e x_{1}=2{,}75 já está mais próximo de 3 do que de qualquer outro zero, a sequência de Newton-Raphson a partir de x_{0}=2 converge para o zero x^{*}=3.

Passo 4

Em x_{0}=1{,}0 calculamos
f(1)=1-12+47-60=-24, \quad f'(1)=4-36+94-60=2,
de onde
x_{1}=1-\frac{-24}{2}=1+12=13.
Esse salto para x_{1}=13 faz com que as iterações subsequentes oscilem em valores elevados e não se aproximem de nenhum dos zeros conhecidos: o método diverge.

Passo 5

No intervalo [2,3{,}5] temos
f(2)=-12<0, \quad f(3{,}5)\approx1{,}3125>0,
logo há mudança de sinal e vale o Teorema de Bolzano, permitindo aplicar bisseção para achar a raiz x^{*}=3. O erro máximo após N iterações é
\frac{3{,}5-2}{2^{N}}\le0{,}001 \quad\Longrightarrow\quad N\ge\frac{\ln\bigl(1{,}5/0{,}001\bigr)}{\ln2}\approx10{,}55,
portanto são necessárias pelo menos 11 iterações.

Resposta

(i) x_{1}=2{,}75. Converge para x^{*}=3.
(ii) A partir de x_{0}=1{,}0 o método salta para x_{1}=13 e diverge (não se aproxima de nenhum zero).
(iii) Sim, pois f(2)\cdot f(3{,}5)<0. Para erro menor que 0{,}001 são necessárias 11 iterações de bisseção.

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