Os zeros da função
são
4 e
.
(i) Calcule uma iteração do método de Newton-Raphson a partir de
. A sequência para convergir para que zero?
(ii) Repita o processo a partir de
que acontece neste caso?
(iii) É possível aplicar o método da bisseção no intervalo [2,3.5] ? Justifique a resposta. No caso afirmativo, obtenha o número de iterações a partir da qual obtém-se uma aproximação de
a menos de 0.001.
(i) Calcule uma iteração do método de Newton-Raphson a partir de
(ii) Repita o processo a partir de
(iii) É possível aplicar o método da bisseção no intervalo [2,3.5] ? Justifique a resposta. No caso afirmativo, obtenha o número de iterações a partir da qual obtém-se uma aproximação de
Passo 1
O enunciado dá a função
cujos zeros exatos são
. Pede-se: (i) uma iteração de Newton-Raphson a partir de
e para qual zero a sequência converge; (ii) repetir a partir de
e descrever o que acontece; (iii) verificar se o método da bisseção pode ser aplicado em
, justificar e, em caso afirmativo, calcular o número de iterações para obter erro inferior a
. Para Newton usamos
e para bisseção precisamos de
e
Passo 2
Calculamos primeiro a derivada
Em
temos
Logo a primeira iteração é
Passo 3
Como
e
já está mais próximo de
do que de qualquer outro zero, a sequência de Newton-Raphson a partir de
converge para o zero
.
Passo 4
Em
calculamos
de onde
Esse salto para
faz com que as iterações subsequentes oscilem em valores elevados e não se aproximem de nenhum dos zeros conhecidos: o método diverge.
Passo 5
No intervalo
temos
logo há mudança de sinal e vale o Teorema de Bolzano, permitindo aplicar bisseção para achar a raiz
. O erro máximo após
iterações é
portanto são necessárias pelo menos
iterações.
Resposta
(i)
. Converge para
.
(ii) A partir de o método salta para
e diverge (não se aproxima de nenhum zero).
(iii) Sim, pois . Para erro menor que
são necessárias
iterações de bisseção.
(ii) A partir de
(iii) Sim, pois