O problema de valor inicial
tem como única solução exata
.
a) Verifique que
é de fato solução.
a) Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. A gente tem o problema de valor inicial
e o enunciado diz que a única solução exata é
. Aqui o conteúdo é Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem (lineares ou separáveis), e para resolver a gente só vai precisar lembrar como calcular derivada de
e como se verifica uma solução: basta derivar, substituir na equação e checar a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos deriver a função candidata
Para isso usamos a regra da cadeia: se
, então
. Aqui
.
Logo
Logo
Passo 3
Agora substituímos
e
na equação diferencial
.
No lado esquerdo ficou e no lado direito
.
Como
No lado esquerdo ficou
Como
a igualdade bate certinho, ou seja,
está satisfeita.
Passo 4
Falta checar a condição inicial
. Basta ver que
Logo a condição
também é satisfeita.
Resposta
A função
de fato satisfaz a equação
e a condição
, logo é solução do problema de valor inicial.