O problema de valor inicial
l y^prime=-y y(0)=1
tem como única solução exata y(x)=e^-x.
a) Verifique que y(x) é de fato solução.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. A gente tem o problema de valor inicial
y'(x) = -,y(x), y(0)=1,
e o enunciado diz que a única solução exata é . Aqui o conteúdo é Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem (lineares ou separáveis), e para resolver a gente só vai precisar lembrar como calcular derivada de e como se verifica uma solução: basta derivar, substituir na equação e checar a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos deriver a função candidata
y(x)=e^-x
Para isso usamos a regra da cadeia: se y'(x)=ddxe^-x = (-1),e^-x = -,e^-x , então . Aqui .
Logo

Passo 3

Agora substituímos -,e^-x ;=; -,e^-x, e na equação diferencial .
No lado esquerdo ficou e no lado direito .
Como
a igualdade bate certinho, ou seja, está satisfeita.

Passo 4

Falta checar a condição inicial y(0)=e^-0=e^0=1 . Basta ver que
Logo a condição também é satisfeita.

Resposta

A função de fato satisfaz a equação e a condição , logo é solução do problema de valor inicial.

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