O problema de valor inicial
l y^prime=-y y(0)=1
tem como única solução exata y(x)=e^-x.
Verifique que y(x) é de fato solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre um problema de valor inicial em equações diferenciais de 1ª ordem. O enunciado diz que
y' = -,y, y(0)=1
e afirma que a solução exata é .
Conteúdo: derivada de uma função exponencial e verificação de condições iniciais.
O que precisamos:
  1. Calcular a derivada de .
  2. Mostrar que essa derivada bate com .
  3. Verificar que .

Passo 2

Vamos calcular a derivada de y'(x)=ddxe^-x=(-1),e^-x=-,e^-x .
Teoria rápida: a derivada de é .
Aqui , então .
Logo
Pronto, então .

Passo 3

Agora comparamos com a equação diferencial -,y(x)=-,l(e^-xr)=-,e^-x .
Substituindo no lado direito, temos
Então o que encontramos para (que foi ) é exatamente . Isso mostra que satisfaz a equação .

Passo 4

Falta checar a condição inicial y(0)=e^-0=e^0=1 .
Basta avaliar em :
Perfeito, bate com o que pedem.

Resposta

A função satisfaz tanto quanto , logo é de fato a solução do problema de valor inicial.

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