O problema de valor inicial
tem como única solução exata
.
Verifique que
é de fato solução.
Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é sobre um problema de valor inicial em equações diferenciais de 1ª ordem. O enunciado diz que
e afirma que a solução exata é
.
Conteúdo: derivada de uma função exponencial e verificação de condições iniciais.
O que precisamos:
Conteúdo: derivada de uma função exponencial e verificação de condições iniciais.
O que precisamos:
- Calcular a derivada de
. - Mostrar que essa derivada bate com
. - Verificar que
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
.
Teoria rápida: a derivada de é
.
Aqui , então
.
Logo
Teoria rápida: a derivada de
Aqui
Logo
Pronto, então
.
Passo 3
Agora comparamos com a equação diferencial
.
Substituindo no lado direito, temos
Substituindo
Então o que encontramos para
(que foi
) é exatamente
. Isso mostra que
satisfaz a equação
.
Passo 4
Falta checar a condição inicial
.
Basta avaliar em
:
Basta avaliar
Perfeito, bate com o que pedem.
Resposta
A função
satisfaz tanto
quanto
, logo é de fato a solução do problema de valor inicial.