Usando o método de Euler, calcule a solução aproximada do seguinte PVI:
l y^prime=f(x, y)=y-x y(x0)=y(0)=2
no intervalo x in[a, b]=[0,1]
usando um espaçamento de h2=0.1.

Passo 1

Beleza, a nossa missão é aproximar a solução do PVI
y' = f(x,y) = y - x, y(0) = 2, xin[0,1],
usando o método de Euler com passo yn+1 = yn + h,f(xn,yn), .
Conteúdo: ODEs e método de Euler (um esquema explícito de passo fixo).
Ferramentas que vamos usar:
  1. a fórmula de iteração de Euler
  1. a expressão de ,
  2. as abscissas , com .

Passo 2

Definindo:
  • yn+1 = yn + 0.1,(yn - xn) ,
  • , para ,
  • .
    A fórmula de Euler fica
Vamos iterar isso de até para chegar em .

Passo 3

Agora, passo a passo, aplicamos:
Para x0 = 0, y0 = 2, f(x0,y0)=2-0=2 ;Longrightarrow; y1 = 2 + 0.1cdot2 = 2.2 :
x1 = 0.1, y1 = 2.2, f(x1,y1)=2.2-0.1=2.1 ;Longrightarrow; y2 = 2.2 + 0.1cdot2.1 = 2.41
Para f(xn,yn)=yn - xn, yn+1=yn+0.1,f(xn,yn) :
E assim por diante, sempre fazendo

Passo 4

Depois de repetir até c|ccccccccccc n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10hline xn & 0 & 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 & 0.5 & 0.6 & 0.7 & 0.8 & 0.9 & 1.0 yn & 2.000 & 2.200 & 2.410 & 2.631 & 2.8641 & 3.11051 & 3.371561 & 3.6487171 & 3.9435888 & 4.2579477 & 4.5937425 , obtemos a tabela de valores aproximados:

Resposta

A aproximação pelo método de Euler com y(1)approx y10 = 4.5937425 no ponto é
E a lista completa de está na tabela acima.

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