Problema de Valor Inicial (PVI): Uma chaminé industrial de filtração de gases obedece à equação
. Ela é deslocada 2 cm de sua posição original por uma rajada de vento e solta do repouso (isso significa que no tempo zero:
e a velocidade inicial é
). Encontre a equação específica
que dita o movimento desta chaminé.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial e condições iniciais. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
- Equação diferencial (segunda ordem, linear, homogênea, coeficientes constantes):
- Condições iniciais no tempo zero:
- O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais (essa descreve o movimento da chaminé).
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicando a ideia didaticamente, sem pular etapas):
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes como
a técnica padrão é procurar soluções do tipo exponencial
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. A razão é que derivar
apenas multiplica por
, então a equação diferencial se transforma numa equação algébrica (mais fácil de resolver). Vou mostrar isso passo a passo.
Observação rápida sobre possibilidades de raízes (para entendimento):
- Se a equação algébrica tiver duas raízes reais distintas
, a solução geral é combinação linear . - Se houver raiz real dupla
, a solução geral é . - Se as raízes forem complexas
, a solução é .
No nosso caso veremos qual situação ocorre.
Passo 3
Formar a equação característica substituindo
. Calcule as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obter a equação característica (uma equação quadrática em
):
Passo 4
Resolver a equação quadrática
Tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Assim a fatoração é
Portanto as raízes são
São duas raízes reais e distintas.
Passo 5
Escrever a solução geral para o caso de duas raízes reais distintas
e
. A solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes reais que serão determinadas a partir das condições iniciais.
Passo 6
Calcular a derivada geral
(vai ser necessária para aplicar
). Usando a regra
, obtemos:
Passo 7
Aplicar as condições iniciais para obter um sistema linear para
e
.
Para
, da solução geral:
Para
, da expressão de
:
Portanto o sistema é
Passo 8
Resolver o sistema passo a passo. Usarei substituição:
Da primeira equação:
Substituir na segunda:
Desenvolvendo:
Isolando
:
Então
Passo 9
Breve interpretação física (útil para prova): as constantes ficaram
e
. As duas exponenciais têm fatores negativos nos expoentes (
e
), portanto ambas decaem para zero quando
. As raízes reais distintas indicam um decaimento sem oscilações (sistema superamortecido no jargão físico), logo a chaminé volta ao repouso sem oscilar.