Problema de Valor Inicial (PVI): Uma chaminé industrial de filtração de gases obedece à equação y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+15 y=0. Ela é deslocada 2 cm de sua posição original por uma rajada de vento e solta do repouso (isso significa que no tempo zero: y(0)=2 e a velocidade inicial é y^{\prime}(0)=0 ). Encontre a equação específica y(t) que dita o movimento desta chaminé.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial e condições iniciais. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Equação diferencial (segunda ordem, linear, homogênea, coeficientes constantes):
y'' + 8y' + 15y = 0.
  • Condições iniciais no tempo zero:
y(0)=2,\qquad y'(0)=0.
  • O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais (essa y(t) descreve o movimento da chaminé).

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicando a ideia didaticamente, sem pular etapas):
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes como
y'' + 8y' + 15y = 0,
a técnica padrão é procurar soluções do tipo exponencial
y(t)=e^{rt},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. A razão é que derivar e^{rt} apenas multiplica por r, então a equação diferencial se transforma numa equação algébrica (mais fácil de resolver). Vou mostrar isso passo a passo.
Observação rápida sobre possibilidades de raízes (para entendimento):
  • Se a equação algébrica tiver duas raízes reais distintas r_1,r_2, a solução geral é combinação linear C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t}.
  • Se houver raiz real dupla r, a solução geral é (C_1 + C_2 t)e^{r t}.
  • Se as raízes forem complexas a\pm bi, a solução é e^{a t}(A\cos(bt)+B\sin(bt)).
    No nosso caso veremos qual situação ocorre.

Passo 3

Formar a equação característica substituindo y(t)=e^{rt}. Calcule as derivadas:
y'(t)=r e^{rt},\qquad y''(t)=r^{2} e^{rt}.
Substituindo na equação diferencial:
r^{2} e^{rt} + 8 r e^{rt} + 15 e^{rt} = 0.
Como e^{rt} nunca é zero, podemos dividir por e^{rt} e obter a equação característica (uma equação quadrática em r):
r^{2} + 8r + 15 = 0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática
r^{2} + 8r + 15 = 0.
Tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja 15 e cuja soma seja 8. Esses números são 3 e 5. Assim a fatoração é
(r+3)(r+5)=0.
Portanto as raízes são
r=-3,\qquad r=-5.
São duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Escrever a solução geral para o caso de duas raízes reais distintas r_1=-3 e r_2=-5. A solução geral da equação homogênea é
y(t)=C_{1}e^{-3t}+C_{2}e^{-5t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais que serão determinadas a partir das condições iniciais.

Passo 6

Calcular a derivada geral y'(t) (vai ser necessária para aplicar y'(0)=0). Usando a regra \dfrac{d}{dt}e^{at}=a e^{at}, obtemos:
y'(t) = -3C_{1}e^{-3t} -5C_{2}e^{-5t}.

Passo 7

Aplicar as condições iniciais para obter um sistema linear para C_{1} e C_{2}.
Para t=0, da solução geral:
y(0)=C_{1}+C_{2}=2.
Para y'(0)=0, da expressão de y'(t):
y'(0) = -3C_{1}-5C_{2}=0.
Portanto o sistema é
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=2,\\[6pt] -3C_{1}-5C_{2}=0. \end{cases}]

Passo 8

Resolver o sistema passo a passo. Usarei substituição:
Da primeira equação:
C_{1}=2-C_{2}.
Substituir na segunda:
-3(2-C_{2})-5C_{2}=0.
Desenvolvendo:
-6+3C_{2}-5C_{2}=0.
-6-2C_{2}=0.
Isolando C_{2}:
-2C_{2}=6\quad\Rightarrow\quad C_{2}=-3.
Então
C_{1}=2- C_{2}=2-(-3)=5.

Passo 9

Breve interpretação física (útil para prova): as constantes ficaram C_{1}=5 e C_{2}=-3. As duas exponenciais têm fatores negativos nos expoentes ( -3 e -5), portanto ambas decaem para zero quando t\to\infty. As raízes reais distintas indicam um decaimento sem oscilações (sistema superamortecido no jargão físico), logo a chaminé volta ao repouso sem oscilar.

Resposta

y(t)=5e^{-3t}-3e^{-5t}

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