Qual é a problemática e/ou objetivo da interpolação?

Passo 1

Beleza, então o enunciado pergunta: “Qual é a problemática e/ou objetivo da interpolação?”
Conteúdo da matéria: Análise Numérica – Interpolação de funções.
O que vamos precisar para responder:
  • Entender o que significa “interpolar” em matemática.
  • Saber o que queremos encontrar (o objetivo) quando fazemos interpolação.

Passo 2

Antes de tudo, o que é essa tal de “interpolação”?
Imagine que você tem um conjunto de dados: pontos Pn(xi) = yi para i = 0, 1, dots, n. Esses são valores que você já conhece de uma função qualquer , mas só em algumas abscissas . A interpolação é o processo de “preencher as lacunas”: a gente busca uma função (geralmente um polinômio de grau até ) tal que, em cada ponto que a gente conhece, ela bate certinho:
Ou seja, o nosso problema/interpolação é: dado , encontrar que passe exatamente por esses pontos.

Passo 3

Pra quê isso serve na prática?
  1. Se você tem poucos dados, mas quer estimar valores de Pn(x) = sumi=0^n yi , elli(x), elli(x) = prodsubstackj=0jneq i^n x - xjxi - xj em pontos que não mediu, a gente usa como “palpite” (aproximação).
  2. Essa função interpoladora pode ser usada pra integrar numericamente, derivar, simular fenômenos, e por aí vai.
  3. A teoria nos mostra formas de construir , como o polinômio de Lagrange:
Mas o que importa é: a problemática é que você só conhece alguns valores de e quer uma função que “cubra” todos os outros pontos, reproduzindo exatamente os dados que você já conhece.

Resposta

O objetivo da interpolação é, dado um conjunto finito de pontos , construir uma função (normalmente um polinômio ) que:
  1. Passe exatamente por todos esses pontos ( );
  2. Permita estimar/avaliar valores da função em pontos intermediários (ou novos), garantindo que os dados originais sejam respeitados.

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