Qual é a problemática e/ou objetivo da integração numérica?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular: o enunciado pergunta “Qual é a problemática e/ou objetivo da integração numérica?” Estamos em Cálculo Numérico e o que precisamos sacar é por que, às vezes, a gente não consegue calcular uma integral de forma exata (analítica) e então recorre a métodos de aproximação.
Passo 2
Antes de mais nada, lembra da definição de integral definida em Cálculo:
é a área sob a curva
entre
e
. Teoricamente, a gente calcula isso encontrando uma antiderivada de
. Mas a problemática aparece quando:
- A função
não tem antiderivada expressa em termos de funções elementares; - A gente só tem valores discretos de
(ex.: dados experimentais); - Mesmo funções “simples” podem ser cabeludas de integrar à mão.
Passo 3
Então, o objetivo da integração numérica é aproximar
com alguma soma finita de avaliações de
. A ideia básica vem das somas de Riemann:
onde
e
é um ponto qualquer no
-ésimo subintervalo. Métodos como a Regra do Trapézio, Simpson, Gauss ou quadraturas mais elaboradas refinam essa ideia para diminuir o erro.
Passo 4
Resumindo o que vimos:
- A problemática é a impossibilidade prática de obter a integral exata (sem antiderivada fechada ou apenas dados discretos).
- O objetivo é aproximar essa integral de modo controlado, usando somas ponderadas de
em pontos bem escolhidos.
Resposta
A integração numérica existe porque muitas funções não têm antiderivada elementar ou só temos valores pontuais delas; o seu objetivo é estimar o valor da integral definida
com boa precisão, transformando-a em uma soma finita (como nas somas de Riemann ou regras de quadratura) e controlando o erro dessa aproximação.