Qual é a problemática e/ou objetivo da integração numérica?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: o enunciado pergunta “Qual é a problemática e/ou objetivo da integração numérica?” Estamos em Cálculo Numérico e o que precisamos sacar é por que, às vezes, a gente não consegue calcular uma integral de forma exata (analítica) e então recorre a métodos de aproximação.

Passo 2

Antes de mais nada, lembra da definição de integral definida em Cálculo:
integrala^b f(x),dx
é a área sob a curva entre e . Teoricamente, a gente calcula isso encontrando uma antiderivada de . Mas a problemática aparece quando:
  1. A função não tem antiderivada expressa em termos de funções elementares;
  2. A gente só tem valores discretos de (ex.: dados experimentais);
  3. Mesmo funções “simples” podem ser cabeludas de integrar à mão.

Passo 3

Então, o objetivo da integração numérica é aproximar
integrala^b f(x),dx
com alguma soma finita de avaliações de integrala^b f(x),dx ;approx; sumk=1^n f(xk^*),De. A ideia básica vem das somas de Riemann:
onde e é um ponto qualquer no -ésimo subintervalo. Métodos como a Regra do Trapézio, Simpson, Gauss ou quadraturas mais elaboradas refinam essa ideia para diminuir o erro.

Passo 4

Resumindo o que vimos:
  • A problemática é a impossibilidade prática de obter a integral exata (sem antiderivada fechada ou apenas dados discretos).
  • O objetivo é aproximar essa integral de modo controlado, usando somas ponderadas de em pontos bem escolhidos.

Resposta

A integração numérica existe porque muitas funções não têm antiderivada elementar ou só temos valores pontuais delas; o seu objetivo é estimar o valor da integral definida com boa precisão, transformando-a em uma soma finita (como nas somas de Riemann ou regras de quadratura) e controlando o erro dessa aproximação.

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