Processe um programa para determinar o valor de x para o qual y=e^{-x} \log (x) tem um ponto de inflexão:
(i) usando o método de Newton-Raphson. Considere uma tolerância \varepsilon \leq 0.5 \times 10^{-3}.

Passo 1

Resumindo, queremos achar o ponto de inflexão da curva
y = e^{-x}\,\log(x),
isto é, o valor de x>0 tal que a segunda derivada y''(x) se anula. Vamos usar o método de Newton–Raphson para resolver a equação
f(x)=0,
onde f(x)=y''(x). Preciso derivar y até a segunda e a terceira ordem e então aplicar iterações de Newton com tolerância \varepsilon = 0{,}5\times10^{-3}.

Passo 2

Derivando passo a passo:
y = e^{-x}\,\log(x).
y' = \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr)\log(x) + e^{-x}\frac{d}{dx}\bigl(\log(x)\bigr)
y' = -e^{-x}\,\log(x) + e^{-x}\,\frac{1}{x} = e^{-x}\Bigl(\frac{1}{x} - \log(x)\Bigr).
– Seja u(x)=\frac1x-\log(x). Então
y'' = \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}u(x)\bigr) = e^{-x}\bigl(u'(x)-u(x)\bigr).
Como
u'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x},
vem
u'(x)-u(x) = \Bigl(-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\Bigr) -\Bigl(\frac{1}{x}-\log(x)\Bigr) = \log(x) - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}.
Portanto
y''(x) = e^{-x}\Bigl(\log(x) - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}\Bigr).
Como e^{-x}>0, o ponto de inflexão satisfaz
f(x) \equiv \log(x) - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} = 0.
Para aplicar Newton precisamos de
f'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl[\log(x)\Bigr] - \frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{2}{x}\Bigr] - \frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{1}{x^2}\Bigr] = \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{2}{x^3}.

Passo 3

A iteração de Newton–Raphson é
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
com
f(x) = \log(x) - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}, \quad f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x^3}.
Escolhemos como chute inicial x_0=2{,}5, pois avaliando f(2) e f(3) vemos que há troca de sinal nesse intervalo. A condição de parada é
\bigl|x_{n+1}-x_n\bigr|\le 0{,}5\times10^{-3}.

Passo 4

Agora fazemos as iterações:
n =0: x_0=2{,}5
f(x_0)=\log(2{,}5)-\frac{2}{2{,}5}-\frac{1}{2{,}5^2} \approx -0{,}044,
f'(x_0)\approx 0{,}4+0{,}32+0{,}128=0{,}848,
x_1 = 2{,}5 - \frac{-0{,}044}{0{,}848} \approx 2{,}55189,
diferença \approx0{,}0519>0{,}0005.
n =1: x_1\approx2{,}55189
f(x_1)\approx -0{,}00088, \quad f'(x_1)\approx0{,}8193,
x_2 = 2{,}55189 - \frac{-0{,}00088}{0{,}8193} \approx 2{,}55296,
diferença \approx0{,}00107>0{,}0005.
n =2: x_2\approx2{,}55296
f(x_2)\approx +0{,}000098, \quad f'(x_2)\approx0{,}81905,
x_3 = 2{,}55296 - \frac{0{,}000098}{0{,}81905} \approx 2{,}55284,
diferença \approx0{,}00012<0{,}0005. Pare!

Resposta

O valor de x no ponto de inflexão é aproximadamente
x \approx 2{,}5528.

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