No processo de cravação de uma estaca de concreto (
), um peso de 400 kg cai sobre a estaca de uma altura de 70 cm . Calcule a força estática equivalente e a tensão máxima devido ao impacto. A estaca possui diâmetro de 40 cm e comprimento de 8 m . Considere
e despreze a deformação do elemento estrutural na determinação da altura de queda.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
Dados:
O que se pede:
- A força estática equivalente (isto é, uma força constante que produziria a mesma deformação total que o impacto).
- A tensão máxima (compressiva) no topo da estaca devido ao impacto.
Passo 2
Entender o modelo físico usado (sem resolver ainda): quando o peso cai e atinge a estaca, a energia cinética do peso é transformada em energia elástica dentro da estaca (assumimos que a energia se armazena como deformação axial elástica da estaca). Para um corpo elástico linear (modelo mola linear) a energia armazenada é
onde
é a rigidez axial equivalente da estaca e
a compressão máxima. A energia fornecida pelo impacto é a energia potencial mgh (desprezando outras perdas), então igualamos:
Daí obtemos
e as forças associadas. Vou agora explicar cada peça com calma.
Passo 3
Rigidez axial da estaca: para um corpo comprimido axialmente, a rigidez equivalente (como uma mola linear) é
onde
é o módulo de Young (
),
a área da seção transversal (
) e
o comprimento (
). Aqui a estaca é circular com diâmetro dado, então a área é
Calculemos
numericamente: usando
,
Passo 4
Agora calculemos
usando
,
e
:
Façamos a conta passo a passo:
Passo 5
Energia disponível do impacto (energia cinética na chegada):
Calcule:
Passo 6
Determinar a compressão máxima
da estaca usando conservação de energia:
Substituindo
e
:
Calcule a fração:
logo
Breve comentário: essa
é pequena (milímetros), coerente com estacas rígidas.
Passo 7
Força máxima durante o impacto: para mola linear
, então o pico é
Calculemos diretamente (usando os valores anteriores):
Em unidades práticas:
Passo 8
Força estática equivalente: aqui adotamos a definição usual em impacto-elástico — a força constante que, agindo sobre a mesma compressão
, realiza o mesmo trabalho
. Como trabalho de uma força constante
ao deslocamento
é
, temos
Para uma mola linear, como a força varia de
a
de forma linear, o valor médio é
; e de fato
. Então:
Explicação intuitiva: durante o impacto a força sobe linearmente (modelo elástico), então a média da força é metade do pico — essa média é a força constante que faria o mesmo trabalho.
Passo 9
Tensão máxima (compressiva) na seção: tensão axial é força por área, então a tensão máxima é
Usando
e
,
Também poderíamos calcular a tensão equivalente média estática
, mas o pedido foi a tensão máxima, que é
.