No processo de cravação de uma estaca de concreto ( E=25 \mathrm{GPa} ), um peso de 400 kg cai sobre a estaca de uma altura de 70 cm . Calcule a força estática equivalente e a tensão máxima devido ao impacto. A estaca possui diâmetro de 40 cm e comprimento de 8 m . Considere g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e despreze a deformação do elemento estrutural na determinação da altura de queda.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
Dados:
m=400\\ \mathrm{kg},\qquad h=0,70\\ \mathrm{m},\qquad E=25\\ \mathrm{GPa}=25\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},
d=0,40\\ \mathrm{m},\qquad L=8\\ \mathrm{m},\qquad g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que se pede:
  1. A força estática equivalente (isto é, uma força constante que produziria a mesma deformação total que o impacto).
  2. A tensão máxima (compressiva) no topo da estaca devido ao impacto.

Passo 2

Entender o modelo físico usado (sem resolver ainda): quando o peso cai e atinge a estaca, a energia cinética do peso é transformada em energia elástica dentro da estaca (assumimos que a energia se armazena como deformação axial elástica da estaca). Para um corpo elástico linear (modelo mola linear) a energia armazenada é
\text{energia armazenada}=\tfrac{1}{2}k\Delta^{2},
onde k é a rigidez axial equivalente da estaca e \Delta a compressão máxima. A energia fornecida pelo impacto é a energia potencial mgh (desprezando outras perdas), então igualamos:
m g h = \tfrac{1}{2}k\Delta^{2}.
Daí obtemos \Delta e as forças associadas. Vou agora explicar cada peça com calma.

Passo 3

Rigidez axial da estaca: para um corpo comprimido axialmente, a rigidez equivalente (como uma mola linear) é
k=\frac{E A}{L},
onde E é o módulo de Young ( \mathrm{Pa}), A a área da seção transversal ( \mathrm{m^{2}}) e L o comprimento ( \mathrm{m}). Aqui a estaca é circular com diâmetro dado, então a área é
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Calculemos A numericamente: usando d=0,40\\ \mathrm{m},
A=\frac{\pi (0,40)^{2}}{4}=\pi\cdot 0,04=0,04\pi\\ \mathrm{m^{2}}\approx 0,12566\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Agora calculemos k usando E=25\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}, A\approx0,12566\\ \mathrm{m^{2}} e L=8\\ \mathrm{m}:
k=\frac{E A}{L}=\frac{25\times10^{9}\times 0,125663706\ldots}{8}.
Façamos a conta passo a passo:
A\approx 0,125663706\\ \mathrm{m^{2}},\qquad \frac{A}{L}=\frac{0,125663706}{8}=0,0157079633\\ \mathrm{m},
k=25\times10^{9}\times 0,0157079633\approx 3{,}92699\times10^{8}\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

Energia disponível do impacto (energia cinética na chegada):
E_{\text{impacto}}=m g h=400\times 9{,}8\times 0{,}70.
Calcule:
m g h = 400 \times 6{,}86 = 2744\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Determinar a compressão máxima \Delta da estaca usando conservação de energia:
m g h=\tfrac{1}{2}k\Delta^{2}\quad\Rightarrow\quad \Delta=\sqrt{\frac{2 m g h}{k}}.
Substituindo m g h=2744\\ \mathrm{J} e k\approx 3{,}92699\times10^{8}\\ \mathrm{N/m}:
\Delta=\sqrt{\frac{2\times 2744}{3{,}92699\times10^{8}}} =\sqrt{\frac{5488}{3{,}92699\times10^{8}}}.
Calcule a fração:
\frac{5488}{3{,}92699\times10^{8}}\approx 1{,}397\times10^{-5},
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\Delta\approx \sqrt{1{,}397\times10^{-5}}\approx 0{,}003737\\ \mathrm{m}=3{,}737\\ \mathrm{mm}.
Breve comentário: essa \Delta é pequena (milímetros), coerente com estacas rígidas.

Passo 7

Força máxima durante o impacto: para mola linear F=k\Delta, então o pico é
F_{\max}=k\Delta=\sqrt{2 k m g h}.
Calculemos diretamente (usando os valores anteriores):
F_{\max}=\sqrt{2\times 3{,}92699\times10^{8}\times 2744}\approx 1{,}47\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
Em unidades práticas:
F_{\max}\approx 1{,}47\\ \mathrm{MN}=1470\\ \mathrm{kN}.

Passo 8

Força estática equivalente: aqui adotamos a definição usual em impacto-elástico — a força constante que, agindo sobre a mesma compressão \Delta, realiza o mesmo trabalho m g h. Como trabalho de uma força constante F_{\text{eq}} ao deslocamento \Delta é F_{\text{eq}}\Delta, temos
F_{\text{eq}}=\frac{m g h}{\Delta}.
Para uma mola linear, como a força varia de 0 a F_{\max} de forma linear, o valor médio é F_{\max}/2; e de fato F_{\text{eq}}=F_{\max}/2. Então:
F_{\text{eq}}=\frac{F_{\max}}{2}\approx\frac{1{,}47\times10^{6}}{2}\approx 7{,}35\times10^{5}\\ \mathrm{N}=735\\ \mathrm{kN}.
Explicação intuitiva: durante o impacto a força sobe linearmente (modelo elástico), então a média da força é metade do pico — essa média é a força constante que faria o mesmo trabalho.

Passo 9

Tensão máxima (compressiva) na seção: tensão axial é força por área, então a tensão máxima é
\sigma_{\max}=\frac{F_{\max}}{A}.
Usando F_{\max}\approx 1{,}469\times10^{6}\\ \mathrm{N} e A\approx 0{,}125663706\\ \mathrm{m^{2}},
\sigma_{\max}\approx \frac{1{,}469\times10^{6}}{0{,}125663706}\approx 1{,}167\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}=11{,}7\\ \mathrm{MPa}.
Também poderíamos calcular a tensão equivalente média estática \sigma_{\text{eq}}=F_{\text{eq}}/A\approx 5{,}85\\ \mathrm{MPa}, mas o pedido foi a tensão máxima, que é \sigma_{\max}.

Resposta

F_{\text{eq}}\approx 7{,}35\times10^{5}\\ \mathrm{N} (aprox. 735\\ \mathrm{kN}).
\sigma_{\max}\approx 1{,}17\times10^{7}\\ \mathrm{Pa} (aprox. 11{,}7\\ \mathrm{MPa}).

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