Questăo 02. (2,5 pontos): Resolver o sistema de equaçōes algébricas lineares pelo método Gauss-Seidel, admitindo 03 casas decimais.
\begin{aligned} 8,7 x+3,5 y+9,3 z & =16,4 \\\\ 24,5 x-8,9 y+11,5 z & =-49,7 ; S^{(0)}=\left(x^{(0)}=1,3 y^{(0)}=4,2 z^{(0)}=1,1\right)^{t} \\\\ 52,3 x+84,9 y-23,5 z & =-80,9 \end{aligned}
a.) Exibir os cálculos detalhados dos valores de x^{(k)}, y^{(k)}, z^{(k)} e erro(k) encontrados nas iterações.
b.) Realize 03 iterações (três soluçōes).
Fazer uma tabela resumo exibindo iteração, valores das componentes das aproximações do vetor solução e estimativa do erro: \operatorname{Erro}^{(k)}=\left|x^{(k+1)-x^{(k)}}\right|.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte sistema linear (vou repetir fielmente os números com vírgula decimal):
Realizar exatamente 03 iterações (ou seja: calcular S^{(1)},S^{(2)},S^{(3)}), e montar uma tabela resumo com iteração, componentes e a estimativa do erro.
Passo 2
Explicando o método (breve, passo a passo): no Gauss–Seidel transformamos cada equação isolando a incógnita principal e, em cada iteração, usamos imediatamente os valores já atualizados para as incógnitas anteriores da mesma iteração. As fórmulas iterativas (isolando cada variável) são:
Regra de arredondamento adotada (importante): a cada valor computado de x^{(k+1)},y^{(k+1)},z^{(k+1)} iremos arredondar imediatamente para 3 casas decimais e usar esses valores arredondados nas contas seguintes (isto é o procedimento pedido: “admitindo 03 casas decimais”). A estimativa do erro pedida será
Agora vamos aplicar as fórmulas passo a passo para cada iteração, mostrando as contas intermediárias e arredondando a 3 casas decimais sempre que formos guardar um novo valor.
Passo 3
Iteração 1 — cálculo de x^{(1)},y^{(1)},z^{(1)} usando S^{(0)}=(1,3,\;4,2,\;1,1).