1. Questăo 02. (2,5 pontos): Resolver o sistema de equaçōes algébricas lineares pelo método Gauss-Seidel, admitindo 03 casas decimais.
\begin{aligned} 8,7 x+3,5 y+9,3 z & =16,4 \\\\ 24,5 x-8,9 y+11,5 z & =-49,7 ; S^{(0)}=\left(x^{(0)}=1,3 y^{(0)}=4,2 z^{(0)}=1,1\right)^{t} \\\\ 52,3 x+84,9 y-23,5 z & =-80,9 \end{aligned}
a.) Exibir os cálculos detalhados dos valores de x^{(k)}, y^{(k)}, z^{(k)} e erro(k) encontrados nas iterações.
b.) Realize 03 iterações (três soluçōes).
Fazer uma tabela resumo exibindo iteração, valores das componentes das aproximações do vetor solução e estimativa do erro: \operatorname{Erro}^{(k)}=\left|x^{(k+1)-x^{(k)}}\right|.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear (vou repetir fielmente os números com vírgula decimal):
\begin{aligned} 8,7\,x + 3,5\,y + 9,3\,z &= 16,4,\\\\ 24,5\,x - 8,9\,y + 11,5\,z &= -49,7,\\\\ 52,3\,x +84,9\,y -23,5\,z &= -80,9, \end{aligned}
e fornece a aproximação inicial
S^{(0)}=\left(x^{(0)}=1,3,\; y^{(0)}=4,2,\; z^{(0)}=1,1\right)^{t}.
O que a questão pede:
  • Usar o método de Gauss–Seidel com arredondamento a 03 casas decimais para calcular iterativamente x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)}.
  • Exibir os cálculos detalhados de cada iteração.
  • Calcular a estimativa do erro definida no enunciado como
\operatorname{Erro}^{(k)}=\bigl|x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr|.
  • Realizar exatamente 03 iterações (ou seja: calcular S^{(1)},S^{(2)},S^{(3)}), e montar uma tabela resumo com iteração, componentes e a estimativa do erro.

Passo 2

Explicando o método (breve, passo a passo): no Gauss–Seidel transformamos cada equação isolando a incógnita principal e, em cada iteração, usamos imediatamente os valores já atualizados para as incógnitas anteriores da mesma iteração. As fórmulas iterativas (isolando cada variável) são:
a) Isolando x na primeira equação:
x = \frac{16,4 - 3,5\,y - 9,3\,z}{8,7}.
b) Isolando y na segunda equação:
-8,9\,y = -49,7 - 24,5\,x - 11,5\,z \quad\Rightarrow\quad y = \frac{49,7 + 24,5\,x + 11,5\,z}{8,9}.
c) Isolando z na terceira equação:
-23,5\,z = -80,9 - 52,3\,x - 84,9\,y \quad\Rightarrow\quad z = \frac{80,9 + 52,3\,x + 84,9\,y}{23,5}.
Regra de arredondamento adotada (importante): a cada valor computado de x^{(k+1)},y^{(k+1)},z^{(k+1)} iremos arredondar imediatamente para 3 casas decimais e usar esses valores arredondados nas contas seguintes (isto é o procedimento pedido: “admitindo 03 casas decimais”). A estimativa do erro pedida será
\operatorname{Erro}^{(k)}=\bigl|x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr|
calculada com os valores arredondados.
Agora vamos aplicar as fórmulas passo a passo para cada iteração, mostrando as contas intermediárias e arredondando a 3 casas decimais sempre que formos guardar um novo valor.

Passo 3

Iteração 1 — cálculo de x^{(1)},y^{(1)},z^{(1)} usando S^{(0)}=(1,3,\;4,2,\;1,1).
Calcular x^{(1)} pela fórmula de x:
x^{(1)}=\frac{16,4 - 3,5\,y^{(0)} - 9,3\,z^{(0)}}{8,7}.
Substituindo y^{(0)}=4,2 e z^{(0)}=1,1:
3,5\cdot 4,2 = 14,7,\qquad 9,3\cdot 1,1 = 10,23,
16,4 - 14,7 - 10,23 = -8,53,
x^{(1)} = \frac{-8,53}{8,7} \approx -0,98045977\ldots
Arredondando para 3 casas decimais (guardo este valor arredondado para as próximas contas):
\boxed{x^{(1)} = -0,980.}
Agora y^{(1)}, usando o valor atualizado x^{(1)}=-0,980 (arredondado) e z^{(0)}=1,1:
y^{(1)} = \frac{49,7 + 24,5\,x^{(1)} + 11,5\,z^{(0)}}{8,9}.
Cálculos:
24,5\cdot(-0,980) = -24,01,\qquad 11,5\cdot 1,1 = 12,65,
49,7 - 24,01 + 12,65 = 38,34,
y^{(1)} = \frac{38,34}{8,9} \approx 4,307865\ldots
Arredondando a 3 casas:
\boxed{y^{(1)} = 4,308.}
Agora z^{(1)}, usando x^{(1)}=-0,980 e y^{(1)}=4,308:
z^{(1)} = \frac{80,9 + 52,3\,x^{(1)} + 84,9\,y^{(1)}}{23,5}.
Cálculos:
52,3\cdot(-0,980) = -51,254,\qquad 84,9\cdot 4,308 = 365,7492,
80,9 - 51,254 + 365,7492 = 395,3952,
z^{(1)} = \frac{395,3952}{23,5} \approx 16,82855\ldots
Arredondando a 3 casas:
\boxed{z^{(1)} = 16,829.}
Portanto:
S^{(1)}=\bigl(x^{(1)}=-0,980,\; y^{(1)}=4,308,\; z^{(1)}=16,829\bigr)^{t}.

Passo 4

Estimativa do erro após a iteração 1 (definição do enunciado):
\operatorname{Erro}^{(0)}=\bigl|x^{(1)}-x^{(0)}\bigr| = \bigl|-0,980 - 1,3\bigr| = 2,280.

Passo 5

Iteração 2 — cálculo de x^{(2)},y^{(2)},z^{(2)} usando S^{(1)}.
Calcular x^{(2)}:
x^{(2)} = \frac{16,4 - 3,5\,y^{(1)} - 9,3\,z^{(1)}}{8,7},
com y^{(1)}=4,308 e z^{(1)}=16,829:
3,5\cdot 4,308 = 15,078,\qquad 9,3\cdot 16,829 = 156,5097,
16,4 - 15,078 - 156,5097 = -155,1877,
x^{(2)} = \frac{-155,1877}{8,7} \approx -17,839186\ldots
Arredondando a 3 casas:
\boxed{x^{(2)} = -17,839.}
Agora y^{(2)}, usando x^{(2)}=-17,839 (arredondado) e z^{(1)}=16,829:
y^{(2)} = \frac{49,7 + 24,5\,x^{(2)} + 11,5\,z^{(1)}}{8,9},
24,5\cdot(-17,839) = -437,0555,\qquad 11,5\cdot 16,829 = 193,5335,
49,7 - 437,0555 + 193,5335 = -193,822,
y^{(2)} = \frac{-193,822}{8,9} \approx -21,780674\ldots
Arredondando a 3 casas:
\boxed{y^{(2)} = -21,781.}
Agora z^{(2)}, usando x^{(2)}=-17,839 e y^{(2)}=-21,781:
z^{(2)} = \frac{80,9 + 52,3\,x^{(2)} + 84,9\,y^{(2)}}{23,5},
52,3\cdot(-17,839) = -932,9797,\qquad 84,9\cdot(-21,781) = -1849,2069,
80,9 - 932,9797 - 1849,2069 = -2701,2866,
z^{(2)} = \frac{-2701,2866}{23,5} \approx -114,94817\ldots
Arredondando a 3 casas:
\boxed{z^{(2)} = -114,948.}
Portanto:
S^{(2)}=\bigl(x^{(2)}=-17,839,\; y^{(2)}=-21,781,\; z^{(2)}=-114,948\bigr)^{t}.

Passo 6

Estimativa do erro após a iteração 2:
\operatorname{Erro}^{(1)}=\bigl|x^{(2)}-x^{(1)}\bigr| = \bigl|-17,839 - (-0,980)\bigr| = 16,859.

Passo 7

Iteração 3 — cálculo de x^{(3)},y^{(3)},z^{(3)} usando S^{(2)}.
Calcular x^{(3)}:
x^{(3)} = \frac{16,4 - 3,5\,y^{(2)} - 9,3\,z^{(2)}}{8,7},
com y^{(2)}=-21,781 e z^{(2)}=-114,948:
3,5\cdot(-21,781) = -76,2335,\qquad 9,3\cdot(-114,948) = -1069,0164,
16,4 - (-76,2335) - (-1069,0164) = 16,4 + 76,2335 + 1069,0164 = 1161,6499,
x^{(3)} = \frac{1161,6499}{8,7} \approx 133,522977\ldots
Arredondando a 3 casas:
\boxed{x^{(3)} = 133,523.}
Agora y^{(3)}, usando x^{(3)}=133,523 e z^{(2)}=-114,948:
y^{(3)} = \frac{49,7 + 24,5\cdot 133,523 + 11,5\cdot(-114,948)}{8,9},
24,5\cdot 133,523 = 3271,3135,\qquad 11,5\cdot(-114,948) = -1321,902,
49,7 + 3271,3135 - 1321,902 = 1999,1115,
y^{(3)} = \frac{1999,1115}{8,9} \approx 224,6196\ldots
Arredondando a 3 casas:
\boxed{y^{(3)} = 224,620.}
Agora z^{(3)}, usando x^{(3)}=133,523 e y^{(3)}=224,620:
z^{(3)} = \frac{80,9 + 52,3\cdot 133,523 + 84,9\cdot 224,620}{23,5},
52,3\cdot 133,523 = 6983,2629,\qquad 84,9\cdot 224,620 = 19070,238,
80,9 + 6983,2629 + 19070,238 = 26134,4009,
z^{(3)} = \frac{26134,4009}{23,5} \approx 1112,105787\ldots
Arredondando a 3 casas:
\boxed{z^{(3)} = 1112,106.}
Portanto:
S^{(3)}=\bigl(x^{(3)}=133,523,\; y^{(3)}=224,620,\; z^{(3)}=1112,106\bigr)^{t}.

Passo 8

Estimativa do erro após a iteração 3 (última pedida):
\operatorname{Erro}^{(2)}=\bigl|x^{(3)}-x^{(2)}\bigr| = \bigl|133,523 - (-17,839)\bigr| = 151,362.
Tabela resumo (cada valor com 3 casas decimais; erro definido conforme o enunciado)
\begin{array}{c|c c c|c} \text{iteração }k & x^{(k)} & y^{(k)} & z^{(k)} & \operatorname{Erro}^{(k)}=\bigl|x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr|\\hline 0 & 1,300 & 4,200 & 1,100 & 2,280\\\\ 1 & -0,980 & 4,308 & 16,829 & 16,859\\\\ 2 & -17,839 & -21,781 & -114,948 & 151,362\\\\ 3 & 133,523 & 224,620 & 1112,106 & \text{(não calculado, requer }x^{(4)})\\\ \end{array}çãã

Resposta

k=0:\\ x^{(0)}=1,300,\\ y^{(0)}=4,200,\\ z^{(0)}=1,100,\\ \operatorname{Erro}^{(0)}=2,280\n
k=1:\\ x^{(1)}=-0,980,\\ y^{(1)}=4,308,\\ z^{(1)}=16,829,\\ \operatorname{Erro}^{(1)}=16,859\n
k=2:\\ x^{(2)}=-17,839,\\ y^{(2)}=-21,781,\\ z^{(2)}=-114,948,\\ \operatorname{Erro}^{(2)}=151,362\n
k=3:\\ x^{(3)}=133,523,\\ y^{(3)}=224,620,\\ z^{(3)}=1112,106

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