1. Questão 03. (3,0 pontos): Resolver o sistema EALs utilizando o método de Gauss-Jacobi, admitindo 3 casas decimais nos resultados.
\left\{\begin{array}{l} 4,35 x_{1}^{(k)}+2,67 x_{2}^{(k)}+14,5 x_{3}^{(k)}=17,34 \\\\ 2,49 x_{1}^{(k)}-17,9 x_{2}^{(k)}-5,6 x_{3}^{(k)}=101,5{ }^{(k)}=\left(\mathrm{s}_{1}^{(0)}=0,121 x_{2}^{(0)}=0,137 x_{3}^{(0)}=0,341\right)^{1} \\\\ 14,89 x_{1}^{(k)}+5,14 x_{2}^{(k)}+83,6 x_{3}^{(k)}=155,9 \end{array}\right.
a.) ( 1,0 ponto) Mostrar toda metodologia do método de Gauss-Jacobi;
b.) (2 pontos) Fazer 03 iterações (três soluções), tomando S_{x}^{(0)} como a primeira soluçăo.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear (uso a vírgula como separador decimal, conforme o enunciado):
\begin{cases} 4,35\,x_{1}+2,67\,x_{2}+14,5\,x_{3}=17,34,\\[4pt] 2,49\,x_{1}-17,9\,x_{2}-5,6\,x_{3}=101,5,\\[4pt] 14,89\,x_{1}+5,14\,x_{2}+83,6\,x_{3}=155,9. \end{cases}
Foi dada a solução inicial (vetor inicial) \;S^{(0)}=(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},x_{3}^{(0)})=(0,121,\;0,137,\;0,341).
O que se pede:
a) Mostrar toda a metodologia do método de Gauss–Jacobi.
b) Fazer 03 iterações (três soluções), tomando S^{(0)} como a primeira solução e apresentar os resultados com 3 casas decimais.]

Passo 2

O que é o método de Gauss–Jacobi (explicação didática, passo a passo):
  • Gauss–Jacobi é um método iterativo para resolver sistemas lineares A\mathbf{x}=\mathbf{b}. A ideia é isolar cada variável x_i na sua linha e, em cada iteração, calcular x_i usando apenas os valores da iteração anterior (todas as componentes com índice k).
  • Formalmente, se a i-ésima equação é a_{ii}x_i + \sum_{j\neq i} a_{ij}x_j = b_i,então a fórmula iterativa de Gauss–Jacobi é x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j\neq i} a_{ij}x_j^{(k)}\right).Aqui x_i^{(k)} é o valor da variável x_i na iteração k; usamos os x_j^{(k)} (todos com mesmo índice k) para calcular x_i^{(k+1)}.
  • Observação sobre convergência: o método converge com mais segurança quando a matriz A é estritamente diagonal dominante (isto é, |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}| para todas as linhas). Se não for estritamente dominante, o método pode ainda convergir, mas não há garantia simples; mesmo assim, aplicamos o método porque o enunciado pede.
  • No nosso caso, cada iteração usa os três valores anteriores (x_1^{(k)},x_2^{(k)},x_3^{(k)}) para computar (x_1^{(k+1)},x_2^{(k+1)},x_3^{(k+1)}).

Passo 3

Derivação explícita das fórmulas iterativas para nosso sistema: isole cada x_i.
Da primeira equação:
4,35\,x_{1}+2,67\,x_{2}+14,5\,x_{3}=17,34
isolando x_{1}:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1}{4,35}\Bigl(17,34-2,67\,x_{2}^{(k)}-14,5\,x_{3}^{(k)}\Bigr).
Da segunda equação:
2,49\,x_{1}-17,9\,x_{2}-5,6\,x_{3}=101,5
isolando x_{2}:
x_{2}^{(k+1)}=\frac{1}{-17,9}\Bigl(101,5-2,49\,x_{1}^{(k)}-5,6\,x_{3}^{(k)}\Bigr).
(Observe o denominador -17,9.)
Da terceira equação:
14,89\,x_{1}+5,14\,x_{2}+83,6\,x_{3}=155,9
isolando x_{3}:
x_{3}^{(k+1)}=\frac{1}{83,6}\Bigl(155,9-14,89\,x_{1}^{(k)}-5,14\,x_{2}^{(k)}\Bigr).
Essas três fórmulas são as que usaremos para gerar as iterações.

Passo 4

Dados iniciais (primeira solução, que o enunciado pede para considerar como S^{(0)}):
S^{(0)}=(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},x_{3}^{(0)})=(0,121,\;0,137,\;0,341).
Vamos agora aplicar as fórmulas obtidas para calcular S^{(1)} e S^{(2)}. Em cada nova solução eu vou mostrar as substituições e as contas, e ao final arredondar cada componente para 3 casas decimais (como pedido).

Passo 5

Cálculo de S^{(1)} a partir de S^{(0)}.
  1. Cálculo de x_{1}^{(1)}:
x_{1}^{(1)}=\frac{1}{4,35}\Bigl(17,34-2,67\,x_{2}^{(0)}-14,5\,x_{3}^{(0)}\Bigr).
Substituindo x_{2}^{(0)}=0,137 e x_{3}^{(0)}=0,341:
2,67\cdot 0,137=0,36579, \qquad 14,5\cdot 0,341=4,9445.
Somando os termos subtraídos:
0,36579+4,9445=5,31029.
Então
17,34-5,31029=12,02971, \qquad x_{1}^{(1)}=\frac{12,02971}{4,35}\approx 2,7649\ldots
Arredondando para 3 casas decimais:
x_{1}^{(1)}=2,765.
  1. Cálculo de x_{2}^{(1)}:
x_{2}^{(1)}=\frac{1}{-17,9}\Bigl(101,5-2,49\,x_{1}^{(0)}-5,6\,x_{3}^{(0)}\Bigr).
Substituindo x_{1}^{(0)}=0,121 e x_{3}^{(0)}=0,341:
2,49\cdot 0,121=0,30129, \qquad 5,6\cdot 0,341=1,9096.
Somando:
0,30129+1,9096=2,21089.
Então
101,5-2,21089=99,28911, \qquad x_{2}^{(1)}=\frac{99,28911}{-17,9}\approx -5,5466\ldots
Arredondando:
x_{2}^{(1)}=-5,547.
  1. Cálculo de x_{3}^{(1)}:
x_{3}^{(1)}=\frac{1}{83,6}\Bigl(155,9-14,89\,x_{1}^{(0)}-5,14\,x_{2}^{(0)}\Bigr).
Substituindo x_{1}^{(0)}=0,121 e x_{2}^{(0)}=0,137:
14,89\cdot 0,121=1,80169, \qquad 5,14\cdot 0,137=0,70418.
Somando:
1,80169+0,70418=2,50587.
Então
155,9-2,50587=153,39413, \qquad x_{3}^{(1)}=\frac{153,39413}{83,6}\approx 1,8348\ldots
Arredondando:
x_{3}^{(1)}=1,835.
Portanto a segunda solução (primeira iteração após o inicial) é
S^{(1)}=(2,765,\;-5,547,\;1,835).

Passo 6

Cálculo de S^{(2)} a partir de S^{(1)}.
Usamos agora x^{(1)} (os valores arredondados acima) como valores de entrada nas fórmulas. (Nota: em provas muitos professores pedem usar os valores arredondados para a próxima iteração; aqui sigo esse procedimento e mantenho 3 casas decimais em cada x^{(k)} apresentado.)
  1. Cálculo de x_{1}^{(2)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{1}{4,35}\Bigl(17,34-2,67\,x_{2}^{(1)}-14,5\,x_{3}^{(1)}\Bigr).
Substituindo x_{2}^{(1)}=-5,547 e x_{3}^{(1)}=1,835:
2,67\cdot(-5,547)=-14,81049, \qquad 14,5\cdot 1,835=26,5825.
Somando os termos (note o sinal):
-14,81049-26,5825=-41,39299.
Então
17,34-(-41,39299)=17,34+41,39299=58,73299, \qquad x_{1}^{(2)}=\frac{58,73299}{4,35}\approx 13,5029\ldots
Arredondando:
x_{1}^{(2)}=13,503.
  1. Cálculo de x_{2}^{(2)}:
x_{2}^{(2)}=\frac{1}{-17,9}\Bigl(101,5-2,49\,x_{1}^{(1)}-5,6\,x_{3}^{(1)}\Bigr).
Substituindo x_{1}^{(1)}=2,765 e x_{3}^{(1)}=1,835:
2,49\cdot 2,765=6,88485, \qquad 5,6\cdot 1,835=10,276.
Somando:
6,88485+10,276=17,16085.
Então
101,5-17,16085=84,33915, \qquad x_{2}^{(2)}=\frac{84,33915}{-17,9}\approx -4,7098\ldots
Arredondando:
x_{2}^{(2)}=-4,710.
  1. Cálculo de x_{3}^{(2)}:
x_{3}^{(2)}=\frac{1}{83,6}\Bigl(155,9-14,89\,x_{1}^{(1)}-5,14\,x_{2}^{(1)}\Bigr).
Substituindo x_{1}^{(1)}=2,765 e x_{2}^{(1)}=-5,547:
14,89\cdot 2,765=41,17085, \qquad 5,14\cdot(-5,547)=-28,51158.
Observe o sinal: na fórmula subtrai-se o produto 5,14\cdot x_{2}^{(1)}, então com x_{2}^{(1)} negativo isso se torna adição:
155,9-41,17085-(-28,51158)=155,9-41,17085+28,51158=143,24073.
Portanto
x_{3}^{(2)}=\frac{143,24073}{83,6}\approx 1,7130\ldots
Arredondando:
x_{3}^{(2)}=1,713.
Assim a terceira solução (segunda iteração efetiva, contando S^{(0)} como a primeira) é
S^{(2)}=(13,503,\;-4,710,\;1,713).

Passo 7

Comentário final sobre resultados e comportamento:
  • As soluções apresentadas (com três casas decimais) foram obtidas aplicando as fórmulas de Gauss–Jacobi e arredondando cada componente a cada iteração (procedimento comum em exercícios práticos).
  • Observação: a primeira linha da matriz não é estritamente diagonal dominante ( |4,35|<|2,67|+|14,5|), então a convergência não é garantida por esse critério. Porém as iterações executadas mostram que os valores mudaram consideravelmente na segunda iteração (por exemplo x_1 saltou de 0,121 para 2,765 e depois para 13,503). Em um contexto de prova, com mais iterações e checagem da norma do erro, discutiríamos convergência ou divergência. Aqui, como pedido, executei e apresentei as três soluções com três casas decimais.

Resposta

S^{(0)}=(0,121,\;0,137,\;0,341)
S^{(1)}=(2,765,\;-5,547,\;1,835)
S^{(2)}=(13,503,\;-4,710,\;1,713)

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