a.) ( 1,0 ponto) Mostrar toda metodologia do método de Gauss-Jacobi;
b.) (2 pontos) Fazer 03 iterações (três soluções), tomando S_{x}^{(0)} como a primeira soluçăo.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear (uso a vírgula como separador decimal, conforme o enunciado):
Foi dada a solução inicial (vetor inicial) \;S^{(0)}=(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},x_{3}^{(0)})=(0,121,\;0,137,\;0,341).
O que se pede:
a) Mostrar toda a metodologia do método de Gauss–Jacobi.
b) Fazer 03 iterações (três soluções), tomando S^{(0)} como a primeira solução e apresentar os resultados com 3 casas decimais.]
Passo 2
O que é o método de Gauss–Jacobi (explicação didática, passo a passo):
Gauss–Jacobi é um método iterativo para resolver sistemas lineares A\mathbf{x}=\mathbf{b}. A ideia é isolar cada variável x_i na sua linha e, em cada iteração, calcular x_i usando apenas os valores da iteração anterior (todas as componentes com índice k).
Formalmente, se a i-ésima equação éa_{ii}x_i + \sum_{j\neq i} a_{ij}x_j = b_i,então a fórmula iterativa de Gauss–Jacobi éx_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j\neq i} a_{ij}x_j^{(k)}\right).Aqui x_i^{(k)} é o valor da variável x_i na iteração k; usamos os x_j^{(k)} (todos com mesmo índice k) para calcular x_i^{(k+1)}.
Observação sobre convergência: o método converge com mais segurança quando a matriz A é estritamente diagonal dominante (isto é, |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}| para todas as linhas). Se não for estritamente dominante, o método pode ainda convergir, mas não há garantia simples; mesmo assim, aplicamos o método porque o enunciado pede.
No nosso caso, cada iteração usa os três valores anteriores (x_1^{(k)},x_2^{(k)},x_3^{(k)}) para computar (x_1^{(k+1)},x_2^{(k+1)},x_3^{(k+1)}).
Passo 3
Derivação explícita das fórmulas iterativas para nosso sistema: isole cada x_i.
Vamos agora aplicar as fórmulas obtidas para calcular S^{(1)} e S^{(2)}. Em cada nova solução eu vou mostrar as substituições e as contas, e ao final arredondar cada componente para 3 casas decimais (como pedido).
Portanto a segunda solução (primeira iteração após o inicial) é
S^{(1)}=(2,765,\;-5,547,\;1,835).
Passo 6
Cálculo de S^{(2)} a partir de S^{(1)}.
Usamos agora x^{(1)} (os valores arredondados acima) como valores de entrada nas fórmulas. (Nota: em provas muitos professores pedem usar os valores arredondados para a próxima iteração; aqui sigo esse procedimento e mantenho 3 casas decimais em cada x^{(k)} apresentado.)
Assim a terceira solução (segunda iteração efetiva, contando S^{(0)} como a primeira) é
S^{(2)}=(13,503,\;-4,710,\;1,713).
Passo 7
Comentário final sobre resultados e comportamento:
As soluções apresentadas (com três casas decimais) foram obtidas aplicando as fórmulas de Gauss–Jacobi e arredondando cada componente a cada iteração (procedimento comum em exercícios práticos).
Observação: a primeira linha da matriz não é estritamente diagonal dominante (|4,35|<|2,67|+|14,5|), então a convergência não é garantida por esse critério. Porém as iterações executadas mostram que os valores mudaram consideravelmente na segunda iteração (por exemplo x_1 saltou de 0,121 para 2,765 e depois para 13,503). Em um contexto de prova, com mais iterações e checagem da norma do erro, discutiríamos convergência ou divergência. Aqui, como pedido, executei e apresentei as três soluções com três casas decimais.