Resolva o seguinte sistema linear:
a) \left\{\begin{array}{l}
2 x-y+z=3 \\
-x+2 y-z=-3 \\
3 x+y+2 z=7
\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva o sistema linear e encontre os valores de x\), \(y\) e \(z\):
\[\begin{cases} 2x - y + z = 3,\\[4pt] -x + 2y - z = -3,\\[4pt] 3x + y + 2z = 7. \end{cases}
Informações dadas (lista): as três equações acima são todas as condições; precisamos achar a tripla ((x,y,z)] que satisfaz todas simultaneamente.]
Passo 2
Vou usar eliminação de Gauss (também chamada eliminação por linhas). Antes de começar, algumas coisas importantes e fáceis de entender:
Representamos o sistema por uma matriz aumentada (coeficientes e termos independentes).
Operações de linha que preservam as soluções:
trocar duas linhas entre si;
multiplicar uma linha por um número não nulo;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha (ou seja, L_i \leftarrow L_i + k L_j).
Essas operações correspondem a manipular as equações sem alterar o conjunto solução. O objetivo é obter uma matriz triangular superior (zerar abaixo dos pivôs) e depois resolver por substituição.
Passo 3
Montamos a matriz aumentada do sistema (colunas são x, y, z e o termo à direita):
(verificação rápida) Substituo \displaystyle x=-\frac{1}{4}, \displaystyle y=\frac{1}{4}, \displaystyle z=\frac{15}{4} nas três equações originais para checar (só uma checagem curta aqui):