Resolva o seguinte sistema linear:
a) \left\{\begin{array}{l} 2 x-y+z=3 \\ -x+2 y-z=-3 \\ 3 x+y+2 z=7 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva o sistema linear e encontre os valores de x\), \(y\) e \(z\): \[\begin{cases} 2x - y + z = 3,\\[4pt] -x + 2y - z = -3,\\[4pt] 3x + y + 2z = 7. \end{cases}
Informações dadas (lista): as três equações acima são todas as condições; precisamos achar a tripla ((x,y,z)] que satisfaz todas simultaneamente.]

Passo 2

Vou usar eliminação de Gauss (também chamada eliminação por linhas). Antes de começar, algumas coisas importantes e fáceis de entender:
  • Representamos o sistema por uma matriz aumentada (coeficientes e termos independentes).
  • Operações de linha que preservam as soluções:
    1. trocar duas linhas entre si;
    2. multiplicar uma linha por um número não nulo;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha (ou seja, L_i \leftarrow L_i + k L_j).
      Essas operações correspondem a manipular as equações sem alterar o conjunto solução. O objetivo é obter uma matriz triangular superior (zerar abaixo dos pivôs) e depois resolver por substituição.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada do sistema (colunas são x, y, z e o termo à direita):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] -1 & 2 & -1 & -3\\[4pt] 3 & 1 & 2 & 7 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminamos a variável x nas linhas 2 e 3 usando combinações inteiras para evitar frações desnecessárias no meio do processo.
  • Para zerar o x da linha 2: faço 2L_2 + L_1 \to L_2. Cálculo:
    2\cdot(-1) + 2 = 0,\qquad 2\cdot 2 + (-1) = 3,\qquad 2\cdot(-1) + 1 = -1,\qquad 2\cdot(-3) + 3 = -3.
    Então a nova L_2 é [0\;\;3\;\;-1\mid -3].
  • Para zerar o x da linha 3: faço 2L_3 - 3L_1 \to L_3. Cálculo:
    2\cdot 3 - 3\cdot 2 = 0,\qquad 2\cdot 1 - 3\cdot(-1) = 2 + 3 = 5,
2\cdot 2 - 3\cdot 1 = 4 - 3 = 1,\qquad 2\cdot 7 - 3\cdot 3 = 14 - 9 = 5.
Então a nova L_3 é [0\;\;5\;\;1\mid 5].
A matriz após essas operações fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 3 & -1 & -3\\[4pt] 0 & 5 & 1 & 5 \end{array}\right]
Isto corresponde ao sistema equivalente
\begin{cases} 2x - y + z = 3,\\[4pt] 3y - z = -3,\\[4pt] 5y + z = 5. \end{cases}]

Passo 5

Agora resolvemos o sistema 2×2 em y\) e \(z\) dado pelas duas últimas equações: \[\begin{cases} 3y - z = -3,\\[4pt] 5y + z = 5. \end{cases}
Uma técnica simples: somar as duas equações para eliminar (z]:
(3y - z) + (5y + z) = -3 + 5 \quad\Rightarrow\quad 8y = 2.
Logo
y = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.]

Passo 6

Com y=\tfrac{1}{4}, encontramos z substituindo em uma das duas equações (uso a primeira delas 3y - z = -3):
3\cdot\frac{1}{4} - z = -3.
Calcule 3\cdot\frac{1}{4} = \frac{3}{4}. Então
\frac{3}{4} - z = -3 \quad\Rightarrow\quad -z = -3 - \frac{3}{4} = -\frac{15}{4}.
Portanto
z = \frac{15}{4}.

Passo 7

Achado y e z, voltamos à primeira equação para achar x:
2x - y + z = 3.
Substituindo y=\tfrac{1}{4} e z=\tfrac{15}{4}:
2x - \frac{1}{4} + \frac{15}{4} = 3.
Calcule -\tfrac{1}{4} + \tfrac{15}{4} = \tfrac{14}{4} = \tfrac{7}{2}. Assim
2x + \frac{7}{2} = 3 \quad\Rightarrow\quad 2x = 3 - \frac{7}{2} = \frac{6}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{1}{2}.
Logo
x = -\frac{1}{4}.

Passo 8

(verificação rápida) Substituo \displaystyle x=-\frac{1}{4}, \displaystyle y=\frac{1}{4}, \displaystyle z=\frac{15}{4} nas três equações originais para checar (só uma checagem curta aqui):
  • Primeira: 2x-y+z = 2\cdot(-\tfrac{1}{4}) - \tfrac{1}{4} + \tfrac{15}{4} = -\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} + \tfrac{15}{4} = -\tfrac{2}{4} - \tfrac{1}{4} + \tfrac{15}{4} = \tfrac{12}{4} = 3. OK.
  • Segunda: -x+2y-z = -(-\tfrac{1}{4}) + 2\cdot\tfrac{1}{4} - \tfrac{15}{4} = \tfrac{1}{4} + \tfrac{2}{4} - \tfrac{15}{4} = -\tfrac{12}{4} = -3. OK.
As contas batem, logo a solução está correta.

Resposta

x=-\dfrac{1}{4}
y=\dfrac{1}{4}
z=\dfrac{15}{4}

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