Em vibrações elásticas é comum a ocorrência da equação:
Determine as três menores raízes positivas.
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente ache as três menores raízes positivas da equação
Isso faz parte de “vibrações elásticas” mas, no fim das contas, é só uma equação transcendental em
.
Para resolver a gente vai precisar de:
Para resolver a gente vai precisar de:
- Definir uma função
. - Usar o Teorema do Valor Intermediário (existência de raiz se
muda de sinal) e um método numérico simples, tipo bisseção, para aproximar cada raiz.
Passo 2
Primeiro, reorganizamos para ver mais claramente onde zerar:
Queremos
. O que a gente faz é:
- Escolher um intervalo
em que e tenham sinais opostos. - Aplicar o método da bisseção, que basicamente corta o intervalo ao meio repetidas vezes até a função em metade do intervalo ser quase zero.
Passo 3
Raiz 1.
– Primeiro vemos que perto de dá
e perto de
dá
.
– Pela bisseção achamos o ponto médio : ali
fica muito pertinho de zero.
– Refinando um pouquinho (mais iterações) a gente chega em
– Primeiro vemos que perto de
– Pela bisseção achamos o ponto médio
– Refinando um pouquinho (mais iterações) a gente chega em
Passo 4
Raiz 2.
– Agora vemos que em a função é positiva e em
ela é negativa.
– Bisseção em até a gente “cortar” bem o intervalo dá
– Agora vemos que em
– Bisseção em
Passo 5
Raiz 3.
– Em a gente tem
e em
.
– Repetindo a bisseção nesse intervalo, chega-se a
– Em
– Repetindo a bisseção nesse intervalo, chega-se a
Resposta
As três menores raízes positivas da equação são aproximadamente