Em vibrações elásticas é comum a ocorrência da equação:
(4-3 x)^* sin (x)=4 x cos (x)
Determine as três menores raízes positivas.

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente ache as três menores raízes positivas da equação
(4 - 3x),sin(x) ;=; 4x,cos(x)
Isso faz parte de “vibrações elásticas” mas, no fim das contas, é só uma equação transcendental em .
Para resolver a gente vai precisar de:
  • Definir uma função .
  • Usar o Teorema do Valor Intermediário (existência de raiz se muda de sinal) e um método numérico simples, tipo bisseção, para aproximar cada raiz.

Passo 2

Primeiro, reorganizamos para ver mais claramente onde zerar:
f(x) = (4 - 3x)sin(x) - 4xcos(x),
Queremos . O que a gente faz é:
  1. Escolher um intervalo em que e tenham sinais opostos.
  2. Aplicar o método da bisseção, que basicamente corta o intervalo ao meio repetidas vezes até a função em metade do intervalo ser quase zero.

Passo 3

Raiz 1.
– Primeiro vemos que perto de x1 approx 1.749 (rad) e perto de .
– Pela bisseção achamos o ponto médio : ali fica muito pertinho de zero.
– Refinando um pouquinho (mais iterações) a gente chega em

Passo 4

Raiz 2.
– Agora vemos que em x2 approx 5.215 (rad) a função é positiva e em ela é negativa.
– Bisseção em até a gente “cortar” bem o intervalo dá

Passo 5

Raiz 3.
– Em x3 approx 8.393 (rad) a gente tem e em .
– Repetindo a bisseção nesse intervalo, chega-se a

Resposta

As três menores raízes positivas da equação são aproximadamente
x1 approx 1.749, x2 approx 5.215, x3 approx 8.393

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