Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de a=0 de grau n para as seguintes funções:
cos (x)

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede: “Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau da função expandido em torno de .”
Conteúdo: séries de Taylor (polinômio de Taylor).
O que vamos precisar:
  • Definição do polinômio de Taylor centrado em zero.
  • As derivadas de em .
  • Montar o somatório até o grau .

Passo 2

Primeiro, lembra da definição do polinômio de Taylor de grau Tn(x) ;=; sumk=0^n f^(k)(0)k!,x^k de uma função em torno de :
Ou seja, a gente calcula cada derivada , divide por , e multiplica por .

Passo 3

Agora, vamos listar as derivadas de e avaliá-las em :
  1. , então .
  2. , então .
  3. , então .
  4. , então .
  5. , então .
E esse ciclo se repete a cada quatro deriva­das. Note que todas as derivadas ímpares em zero valem zero, e as pares alternam entre e .

Passo 4

Como só dão contribuição os termos com derivada de ordem par, escrevemos o somatório pulando os ímpares. Para todo f^(2m)(0)=(-1)^m par, digamos Tn(x) =summ=0^lfloor n/2rfloor (-1)^m(2m)!;x^2m , temos
Então o polinômio de grau é
Aqui significa “o maior inteiro menor ou igual a ”, garantindo que o grau não ultrapasse .

Resposta

boxedTn(x) ;=; summ=0^lfloor n/2rfloor (-1)^m(2m)!,x^2m

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