Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de
de grau
para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede: “Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau
da função
expandido em torno de
.”
Conteúdo: séries de Taylor (polinômio de Taylor).
O que vamos precisar:
Conteúdo: séries de Taylor (polinômio de Taylor).
O que vamos precisar:
- Definição do polinômio de Taylor centrado em zero.
- As derivadas de
em . - Montar o somatório até o grau
.
Passo 2
Primeiro, lembra da definição do polinômio de Taylor de grau
de uma função
em torno de
:
Ou seja, a gente calcula cada derivada
, divide por
, e multiplica por
.
Passo 3
Agora, vamos listar as derivadas de
e avaliá-las em
:
-
, então . -
, então . -
, então . -
, então . -
, então .
E esse ciclo se repete a cada quatro derivadas. Note que todas as derivadas ímpares em zero valem zero, e as pares alternam entre
e
.
Passo 4
Como só dão contribuição os termos com derivada de ordem par, escrevemos o somatório pulando os ímpares. Para todo
par, digamos
, temos
Então o polinômio de grau
é
Aqui
significa “o maior inteiro menor ou igual a
”, garantindo que o grau
não ultrapasse
.