Responder aos itens a seguir:
c) Dado um sistema linear A cdot x=b, em que caso é recomendado utilizar o método da decomposição LU para resolvê-lo?





Passo 1

Beleza, o exercício tá perguntando sobre um sistema linear
A cdot x = b
e quer saber em que situação vale a pena usar a decomposição LU para resolver esse sistema.
Matéria: Álgebra Linear (métodos diretos para resolver sistemas).
Vamos precisar entender o que é LU, como funciona a decomposição e quando ela é vantajosa.

Passo 2

O que é decomposição LU?
  1. A gente quer escrever a matriz quadrada A = L cdot U como o produto de duas matrizes triangulares: onde
    • é triangular inferior (com 1’s na diagonal),
    • é triangular superior.
  2. Depois, pra resolver , fazemos em duas etapas:
    a) Resolve por “substituição para frente” (forward substitution).
    b) Resolve por “substituição para trás” (back substitution).
  3. A fatoração custa , mas cada substituição custa só .

Passo 3

Quando isso fica legal?
  • Se você só tiver um vetor , talvez faça direta uma eliminação de Gauss e pronto.
  • Mas se você tiver vários vetores com a mesma matriz , aí compensa MUITO:
    • Você faz a decomposição uma vez só (custo ).
    • Para cada novo , resolve e (cada um custa só ).
  • Também é legal usar LU se você quiser calcular o determinante de (basta multiplicar os pivôs de ) ou a inversa de (resolvendo para cada coluna da identidade).

Resposta

Recomenda-se usar a decomposição LU quando você tem a mesma matriz e precisa resolver o sistema para vários vetores diferentes (ou quer calcular determinante/inversa). Assim, faz a fatoração uma vez e depois só faz substituições baratinhas para cada .

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