Responder aos itens a seguir:
c) Dado um sistema linear
, em que caso é recomendado utilizar o método da decomposição LU para resolvê-lo?
c) Dado um sistema linear
Passo 1
Beleza, o exercício tá perguntando sobre um sistema linear
e quer saber em que situação vale a pena usar a decomposição LU para resolver esse sistema.
Matéria: Álgebra Linear (métodos diretos para resolver sistemas).
Vamos precisar entender o que é LU, como funciona a decomposição e quando ela é vantajosa.
Passo 2
O que é decomposição LU?
- A gente quer escrever a matriz quadrada
como o produto de duas matrizes triangulares: onde -
é triangular inferior (com 1’s na diagonal), -
é triangular superior.
-
- Depois, pra resolver
, fazemos em duas etapas:
a) Resolvepor “substituição para frente” (forward substitution).
b) Resolvepor “substituição para trás” (back substitution). - A fatoração
custa , mas cada substituição custa só .
Passo 3
Quando isso fica legal?
- Se você só tiver um vetor
, talvez faça direta uma eliminação de Gauss e pronto. - Mas se você tiver vários vetores
com a mesma matriz , aí compensa MUITO:
• Você faz a decomposiçãouma vez só (custo ).
• Para cada novo, resolve e (cada um custa só ). - Também é legal usar LU se você quiser calcular o determinante de
(basta multiplicar os pivôs de ) ou a inversa de (resolvendo para cada coluna da identidade).
Resposta
Recomenda-se usar a decomposição LU quando você tem a mesma matriz
e precisa resolver o sistema para vários vetores
diferentes (ou quer calcular determinante/inversa). Assim, faz a fatoração
uma vez e depois só faz substituições baratinhas para cada
.