Sabendo que tan ^-1(1)=pi / 4, use a aproximação acima para estabelecer que
pi approx 4 sumk=1^n (-1)^k+12 k-1
para n grande.

Passo 1

Então, o enunciado diz o seguinte: a gente sabe que pi approx 4 sumk=1^n (-1)^k+12k-1, . A tarefa é mostrar que, a partir dessa informação e da expansão em série de Taylor de , a gente chega na famosa “série de Leibniz” para , ou seja,
para bem grande.
Conteúdo: séries de Taylor (Maclaurin) e arctangente. Vamos precisar do desenvolvimento em série de ao redor de e usar o valor .

Passo 2

Primeiro, lembra que toda função “bonitinha” pode ser escrita perto de zero como
arctan(x) = summ=0^infty am,x^m
No caso de arctan(x) = sumk=0^infty (-1)^k2k+1,x^2k+1, válido para |x|<=1 , o resultado clássico (Maclaurin) é:
á
Isso vem de integrar a série de .

Passo 3

Agora pegamos pi4 = sumk=0^infty (-1)^k2k+1,1^2k+1 = sumk=0^infty (-1)^k2k+1 . Como , temos

Passo 4

Para aproximar pi = 4sumk=0^infty (-1)^k2k+1 approx 4sumk=0^n-1 (-1)^k2k+1 a partir dessa série, a gente só multiplica os dois lados por 4 e faz uma soma até 4sumk=0^n-1 (-1)^k2k+1 =4sumk=1^n (-1)^,k-12(k-1)+1 =4sumk=1^n (-1)^k+12k-1 em vez de infinito. Assim
Bastou trocar o índice para escrever a soma começando em :

Resposta

boxedpi approx 4 sumk=1^n (-1)^k+12k-1, para (n) grande

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