Sabendo que
, use a aproximação acima para estabelecer que
para
grande.
Passo 1
Então, o enunciado diz o seguinte: a gente sabe que
. A tarefa é mostrar que, a partir dessa informação e da expansão em série de Taylor de
, a gente chega na famosa “série de Leibniz” para
, ou seja,
para
bem grande.
Conteúdo: séries de Taylor (Maclaurin) e arctangente. Vamos precisar do desenvolvimento em série de ao redor de
e usar o valor
.
Conteúdo: séries de Taylor (Maclaurin) e arctangente. Vamos precisar do desenvolvimento em série de
Passo 2
Primeiro, lembra que toda função “bonitinha” pode ser escrita perto de zero como
No caso de
, o resultado clássico (Maclaurin) é:
Isso vem de integrar a série de
.
Passo 3
Agora pegamos
. Como
, temos
Passo 4
Para aproximar
a partir dessa série, a gente só multiplica os dois lados por 4 e faz uma soma até
em vez de infinito. Assim
Bastou trocar o índice
para escrever a soma começando em
: