Sendo uma função dada nos pontos a seguir, calcular pelo Método das Diferenças Divididas utilizando o polinomio interpolador de grau 3 que leva ao menor erro possível. Calcular o erro máximo desta estimativa.
0
1
2
3
4
5
55
75
85
110
115
130
14,08
13,56
13,28
12,27
11,30
10,40
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma função y = f(x) conhecida em seis pontos:
x_i = 55, 75, 85, 110, 115, 130 com f(x_i) = 14,08; 13,56; 13,28; 12,27; 11,30; 10,40.
A ideia é estimar f(100) usando interpolação de grau 3 via Diferenças Divididas de Newton, escolhendo quatro pontos que deixem o erro o mais baixo possível. Depois, calcular um limite para o erro máximo dessa estimativa.
Conteúdo:
Interpolação de Newton (Diferenças Divididas)
Critério de escolha de nós pra minimizar erro (nós mais próximos de 100)
Fórmula do resto (termo de erro) em interpolação de grau 3
O que vamos precisar:
Montar as diferenças divididas até a 3ª ordem com os quatro pontos escolhidos.
Montar o polinômio de Newton de grau 3 e avaliar em x=100.
Calcular o termo de erro usando a 4ª diferença dividida e o produto .
Passo 2
Escolher os 4 nós mais próximos de 100
A regra prática é pegar dois pontos abaixo e dois acima de 100 para minimizar o erro. Então tomamos:
x₀=75, x₁=85, x₂=110, x₃=115
com
f(x₀)=13,56; f(x₁)=13,28; f(x₂)=12,27; f(x₃)=11,30.
Passo 3
Calcular as diferenças divididas
1ª ordem:
2ª ordem:
3ª ordem:
Passo 4
Montar o polinômio de Newton e avaliar em x=100
O polinômio de grau 3 é
Agora em x=100:
Termo 0:
Termo 1:
Termo 2:
Termo 3:
Somando tudo:
Passo 5
Estimar o erro máximo
O termo de resto em grau 3 é
Como f⁽⁴⁾(ξ) é desconhecido, a gente usa o maior módulo de 4ª diferença dividida entre cinco pontos quaisquer (ex.: 55, 75, 85, 110, 115 ou 75, 85, 110, 115, 130). Calculando rapidamente, o maior valor encontrado foi
O produto é
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Resposta
Usando interpolação de Newton de grau 3 com os nós 75, 85, 110, 115, obtemos