Sendo y=f(x) uma função dada nos pontos a seguir, calcular y=f(100) pelo Método das Diferenças Divididas utilizando o polinomio interpolador de grau 3 que leva ao menor erro possível. Calcular o erro máximo desta estimativa.
c||c|c|c|c|c|c hline$i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 hline$xi$ & 55 & 75 & 85 & 110 & 115 & 130 hline$y=f(xi))$ & 14,08 & 13,56 & 13,28 & 12,27 & 11,30 & 10,40 hline 0 1 2 3 4 5
55 75 85 110 115 130
14,08 13,56 13,28 12,27 11,30 10,40

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma função y = f(x) conhecida em seis pontos:
x_i = 55, 75, 85, 110, 115, 130 com f(x_i) = 14,08; 13,56; 13,28; 12,27; 11,30; 10,40.
A ideia é estimar f(100) usando interpolação de grau 3 via Diferenças Divididas de Newton, escolhendo quatro pontos que deixem o erro o mais baixo possível. Depois, calcular um limite para o erro máximo dessa estimativa.
Conteúdo:
  • Interpolação de Newton (Diferenças Divididas)
  • Critério de escolha de nós pra minimizar erro (nós mais próximos de 100)
  • Fórmula do resto (termo de erro) em interpolação de grau 3
O que vamos precisar:
  1. Montar as diferenças divididas até a 3ª ordem com os quatro pontos escolhidos.
  2. Montar o polinômio de Newton de grau 3 e avaliar em x=100.
  3. Calcular o termo de erro usando a 4ª diferença dividida e o produto .

Passo 2

Escolher os 4 nós mais próximos de 100
A regra prática é pegar dois pontos abaixo e dois acima de 100 para minimizar o erro. Então tomamos:
x₀=75, x₁=85, x₂=110, x₃=115
com
f(x₀)=13,56; f(x₁)=13,28; f(x₂)=12,27; f(x₃)=11,30.

Passo 3

Calcular as diferenças divididas
1ª ordem:
f[x0,x1]&=13,28-13,5685-75=-0,028, f[x1,x2]&=12,27-13,28110-85=-0,0404, f[x2,x3]&=11,30-12,27115-110=-0,194
2ª ordem:
f[x0,x1,x2]&=-0,0404-(-0,028)110-75=-0,0003543, f[x1,x2,x3]&=-0,194-(-0,0404)115-85=-0,00512
3ª ordem:
f[x0,x1,x2,x3] =-0,00512-(-0,0003543)115-75 =-0,00011914

Passo 4

Montar o polinômio de Newton e avaliar em x=100
O polinômio de grau 3 é
P3(x)= 13,56 +(-0,028)(x-75) +(-0,0003543)(x-75)(x-85) +(-0,00011914)(x-75)(x-85)(x-110)
Agora em x=100:
  • Termo 0: P3(100)approx13,56 -0,7 -0,1329 +0,4468=13,1739
  • Termo 1:
  • Termo 2:
  • Termo 3:
Somando tudo:

Passo 5

Estimar o erro máximo
O termo de resto em grau 3 é
R3(100)=f^(4)(xi),(100-75)(100-85)(100-110)(100-115)4!
Como f⁽⁴⁾(ξ) é desconhecido, a gente usa o maior módulo de 4ª diferença dividida entre cinco pontos quaisquer (ex.: 55, 75, 85, 110, 115 ou 75, 85, 110, 115, 130). Calculando rapidamente, o maior valor encontrado foi
|R3(100)|<= 6,94times10^-6times56,250approx0,39
O produto é

Logo,

Resposta

Usando interpolação de Newton de grau 3 com os nós 75, 85, 110, 115, obtemos
f(100)approx13,17
e o erro máximo da estimativa fica em torno de .

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