Resolva o sistema abaixo pelo método de eliminação de Gauss e calcular o erro da solução obtida. Explicitar o sistema triangular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema
pelo método de eliminação de Gauss.
Conteúdo: manipular matrizes por operações elementares (linha equivalente) para chegar a um sistema triangular, depois usar substituição regressiva. No final, calcular o erro (resíduo) da solução, isto é, verificar .
Conteúdo: manipular matrizes por operações elementares (linha equivalente) para chegar a um sistema triangular, depois usar substituição regressiva. No final, calcular o erro (resíduo) da solução, isto é, verificar
Passo 2
Escrevemos a matriz aumentada e elimínamos
l[,A,|,b,r] = 4 & -2 & 5 &|& 9 2 & 8 & 1 &|&15 2 & -3 & 4 &|&12 abaixo da primeira linha.
Matriz inicial
[
\bigl[,A,|,b,\bigr]
]
Queremos zerar as entradas (2,1) e (3,1).
- Nova linha 2:
- Nova linha 3:
Fazendo as contas:
Então agora temos
Passo 3
Agora zeramos o coeficiente de
4 & -2 & 5 &|& 9 0 & 9 & -tfrac32 &|& 10.5 0 & 0 & tfrac76 &|& tfrac596 na linha 3 usando a linha 2 como pivô.
Fator = .
.
Fator =
Cálculo rápido em frações:
- Para
: - Para o termo independente:
Fica o sistema triangular
Passo 4
Agora usamos substituição regressiva (de baixo para cima):
- Da terceira equação:
- Da segunda equação:
- Da primeira equação:
Passo 5
Calculamos o erro via resíduo
r = 000, .
Como nossa solução é exata, cada equação volta a dar exatamente o lado direito.
Logo
Como nossa solução é exata, cada equação volta a dar exatamente o lado direito.
Logo
e o erro (norma do resíduo) é zero.
Resposta
sistema triangular explícito
e o erro (resíduo) é
, ou seja, igual a zero.