Resolva o sistema abaixo pelo método de eliminação de Gauss e calcular o erro da solução obtida. Explicitar o sistema triangular.
l 4 x1-2 x2+5 x3=9 2 x1+8 x2+x3=15 2 x1-3 x2+4 x3=12

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema
4x1 - 2x2 + 5x3 = 9, 2x1 + 8x2 + 1x3 = 15, 2x1 - 3x2 + 4x3 = 12
pelo método de eliminação de Gauss.
Conteúdo: manipular matrizes por operações elementares (linha equivalente) para chegar a um sistema triangular, depois usar substituição regressiva. No final, calcular o erro (resíduo) da solução, isto é, verificar .

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e elimínamos l[,A,|,b,r] = 4 & -2 & 5 &|& 9 2 & 8 & 1 &|&15 2 & -3 & 4 &|&12 abaixo da primeira linha.
Matriz inicial
[
\bigl[,A,|,b,\bigr]

4 & -2 & 5 &|& 9 0 & 9 & -1.5 &|&10.5 0 & -2 & 1.5 &|& 7.5 .
]
Queremos zerar as entradas (2,1) e (3,1).
  • Nova linha 2:
  • Nova linha 3:
Fazendo as contas:

Então agora temos

Passo 3

Agora zera­mos o coeficiente de 4 & -2 & 5 &|& 9 0 & 9 & -tfrac32 &|& 10.5 0 & 0 & tfrac76 &|& tfrac596 na linha 3 usando a linha 2 como pivô.
Fator = .
.
Cálculo rápido em frações:
  1. Para :
  2. Para o termo independente:
Fica o sistema triangular

Passo 4

Agora usamos substituição regressiva (de baixo para cima):
  1. Da terceira equação:
tfrac76,x3 = tfrac596 Longrightarrow x3 = 59/67/6 = 597
  1. Da segunda equação:
9,x2 - tfrac32,x3 = 10.5 Longrightarrow x2 = 10.5 + tfrac32cdot5979 = 10.5 + 88.579 = tfrac73.5+88.579 = 162/79 = 187
  1. Da primeira equação:
4,x1 - 2,x2 + 5,x3 = 9 Longrightarrow x1 = 9 + 2,187 - 5,5974 = 9 + 367 - 29574 = tfrac63+36-29574 = -196/74 = -7

Passo 5

Calculamos o erro via resíduo r = 000, .
Como nossa solução é exata, cada equação volta a dar exatamente o lado direito.
Logo
e o erro (norma do resíduo) é zero.

Resposta

x1 = -7, x2 = 187, x3 = 597,
sistema triangular explícito
4x1 -2x2 +5x3 =9, 9x2 -tfrac32x3 =10.5, tfrac76x3 = tfrac596,
e o erro (resíduo) é , ou seja, igual a zero.

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