Sejam beta=b1, b2 uma base de R^2, u=(-6,-1) e v=(-1,-1). Se as coordenadas na base beta destes vetores são [u]beta=(2,1) e [v]beta=(-3,-4), então b2 é:
(A) [l* 2]
(B) [r* -2]
© [l* 4]
(D) [l* 1]
(E) [l* 0]
(F) [r* -3]
(G) [l* 3]
(H) [r* -1]
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma base do espaço . Temos dois vetores e . As coordenadas desses vetores na base são dadas por e . A pergunta é: qual é ? Vamos precisar usar conceitos de mudanças de base e combinações lineares de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor x = c1 b1 + c2 b2 no espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base. Ou seja:
Onde e são as coordenadas de na base .

Passo 3

Aplicando isso aos vetores u = 2b1 + 1b2 e v = -3b1 - 4b2 :
(-6, -1) = 2b1 + b2
(-1, -1) = -3b1 - 4b2
Sabemos os valores de e no sistema padrão, então podemos substituir:

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações para resolver 2b1 + b2 = (-6, -1) e b2 = (-6, -1) - 2b1 . Mas como queremos encontrar , vamos resolver para ele.
Primeiro, da primeira equação:

Passo 5

Substituímos -3b1 - 4[(-6, -1) - 2b1] = (-1, -1) na segunda equação:
-3b1 + 24 + 4b1 = (-1, -1)
b1 + 24 = (-1, -1)
b1 = (-25, -25)

Passo 6

Agora que temos b2 = (-6, -1) - 2(-25, -25) , substituímos de volta na equação de b2 = (-6, -1) + (50, 50) :
b2 = (44, 49)

Resposta

A alternativa correta é (G) l* 3.

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