Um professor dá aulas numa 7^{\mathrm{a}} série, de 30 alunos, e numa 8^{\mathrm{a}} série, de 18 alunos. Em cada sala, ele formou grupos, e de todos os grupos (tanto na 7^{a} como na 8^{a} ) tinham o mesmo número de alunos. Qual é o maior número de alunos que cada grupo pode ter? R: Cada grupo pode ter no máximo 6 alunos.

Passo 1

O enunciado diz que o professor tem duas turmas: uma da 7^{\mathrm{a}} série com 30 alunos e outra da 8^{\mathrm{a}} série com 18 alunos. Em cada sala ele formou grupos, e todos os grupos — tanto na 7^{\mathrm{a}} quanto na 8^{\mathrm{a}} — tinham o mesmo número de alunos. A pergunta é: qual é o maior número de alunos que cada grupo pode ter?

Passo 2

Entendendo o que o problema pede, em palavras simples: queremos um número (tamanho do grupo) que divida exatamente 30 e também divida exatamente 18. Ou seja, ao dividir 30 por esse número o resto tem que ser 0, e ao dividir 18 por esse mesmo número o resto também tem que ser 0. Esses números que dividem exatamente um inteiro chamam-se divisores.

Passo 3

Definição de divisor (explicação didática): dizemos que um inteiro d é divisor de um inteiro n quando existe outro inteiro k tal que
n = d\cdot k.
Exemplo simples: 3 é divisor de 12 porque 12 = 3\cdot 4. Já 5 não é divisor de 12 porque não existe inteiro k com 12 = 5\cdot k.

Passo 4

Definição de divisor comum e do que queremos: um divisor comum de 30 e 18 é um inteiro d tal que d divide 30 e d divide 18. O maior divisor comum é justamente o maior inteiro que faz isso — é o que nos interessa porque queremos o maior número de alunos por grupo que funcione para as duas turmas.

Passo 5

Escolha do método: para números pequenos como 30 e 18 é bem prático listar todos os divisores de cada número e ver quais são comuns. É um método direto e fácil de seguir passo a passo na prova. (Como alternativa rápida, existe o algoritmo de Euclides — eu mostro também mais adiante como checar com ele.)

Passo 6

Listando divisores de 30. Procuro todos os inteiros positivos que multiplicados por outro inteiro dão 30. Os divisores são:
\{1,\,2,\,3,\,5,\,6,\,10,\,15,\,30\}.
Explicando rapidamente como obtive: começo testando 1 (sempre divide), depois 2 porque 30 é par ( 30=2\cdot15), 3 porque 30=3\cdot10, 4 não divide (resto), 5 divide ( 30=5\cdot6), e assim por diante até chegar em 30.

Passo 7

Listando divisores de 18. Faço o mesmo processo para 18. Os divisores são:
\{1,\,2,\,3,\,6,\,9,\,18\}.
Verificação rápida: 18 é par então 2 divide ( 18=2\cdot9), 3 divide ( 18=3\cdot6), 6 divide ( 18=6\cdot3), 9 divide ( 18=9\cdot2), etc.

Passo 8

Agora encontro os divisores comuns, ou seja, a interseção das duas listas. Os divisores comuns de 30 e 18 são:
\{1,\,2,\,3,\,6\}.

Passo 9

O maior desses divisores comuns é 6. Isso significa que o maior número de alunos que cada grupo pode ter, de modo que tanto a turma de 30 quanto a de 18 possam ser divididas em grupos de igual tamanho sem sobra, é 6.

Passo 10

Cheque rápido com divisão para ver que faz sentido na prática: na 7^{\mathrm{a}} série, 30\div 6 = 5 grupos; na 8^{\mathrm{a}} série, 18\div 6 = 3 grupos. Ambos são inteiros, logo funciona.

Passo 11

(Verificação alternativa) Vou mostrar rapidamente o mesmo resultado pelo algoritmo de Euclides, que é outro jeito eficiente de achar o máximo divisor comum (sem listar todos os divisores):
30 = 18\cdot 1 + 12,
18 = 12\cdot 1 + 6,
12 = 6\cdot 2 + 0.
Quando o resto chega a 0, o último resto não nulo é o máximo divisor comum. Aqui o último resto não nulo é 6, então \gcd(30,18)=6, concordando com o método anterior.

Resposta

6

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