Um professor dá aulas numa
série, de 30 alunos, e numa
série, de 18 alunos. Em cada sala, ele formou grupos, e de todos os grupos (tanto na
como na
) tinham o mesmo número de alunos. Qual é o maior número de alunos que cada grupo pode ter? R: Cada grupo pode ter no máximo 6 alunos.
Passo 1
O enunciado diz que o professor tem duas turmas: uma da
série com
alunos e outra da
série com
alunos. Em cada sala ele formou grupos, e todos os grupos — tanto na
quanto na
— tinham o mesmo número de alunos. A pergunta é: qual é o maior número de alunos que cada grupo pode ter?
Passo 2
Entendendo o que o problema pede, em palavras simples: queremos um número (tamanho do grupo) que divida exatamente
e também divida exatamente
. Ou seja, ao dividir
por esse número o resto tem que ser
, e ao dividir
por esse mesmo número o resto também tem que ser
. Esses números que dividem exatamente um inteiro chamam-se divisores.
Passo 3
Definição de divisor (explicação didática): dizemos que um inteiro
é divisor de um inteiro
quando existe outro inteiro
tal que
Exemplo simples:
é divisor de
porque
. Já
não é divisor de
porque não existe inteiro
com
.
Passo 4
Definição de divisor comum e do que queremos: um divisor comum de
e
é um inteiro
tal que
divide
e
divide
. O maior divisor comum é justamente o maior inteiro que faz isso — é o que nos interessa porque queremos o maior número de alunos por grupo que funcione para as duas turmas.
Passo 5
Escolha do método: para números pequenos como
e
é bem prático listar todos os divisores de cada número e ver quais são comuns. É um método direto e fácil de seguir passo a passo na prova. (Como alternativa rápida, existe o algoritmo de Euclides — eu mostro também mais adiante como checar com ele.)
Passo 6
Listando divisores de
. Procuro todos os inteiros positivos que multiplicados por outro inteiro dão
. Os divisores são:
Explicando rapidamente como obtive: começo testando
(sempre divide), depois
porque
é par (
),
porque
,
não divide (resto),
divide (
), e assim por diante até chegar em
.
Passo 7
Listando divisores de
. Faço o mesmo processo para
. Os divisores são:
Verificação rápida:
é par então
divide (
),
divide (
),
divide (
),
divide (
), etc.
Passo 8
Agora encontro os divisores comuns, ou seja, a interseção das duas listas. Os divisores comuns de
e
são:
Passo 9
O maior desses divisores comuns é
. Isso significa que o maior número de alunos que cada grupo pode ter, de modo que tanto a turma de
quanto a de
possam ser divididas em grupos de igual tamanho sem sobra, é
.
Passo 10
Cheque rápido com divisão para ver que faz sentido na prática: na
série,
grupos; na
série,
grupos. Ambos são inteiros, logo funciona.
Passo 11
(Verificação alternativa) Vou mostrar rapidamente o mesmo resultado pelo algoritmo de Euclides, que é outro jeito eficiente de achar o máximo divisor comum (sem listar todos os divisores):
Quando o resto chega a
, o último resto não nulo é o máximo divisor comum. Aqui o último resto não nulo é
, então
, concordando com o método anterior.