Determine dois números cuja soma é 120 e o mmc é 144. R:
e
ou
.
Passo 1
O enunciado pede: "Determine dois números cuja soma é
e o mmc é
". Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Temos dois números inteiros positivos (vou chamá-los de
e ). - Sabemos que
. - Sabemos que
. - Precisamos encontrar todos os pares
inteiros positivos que satisfaçam essas duas condições.
Passo 2
Vamos organizar as incógnitas usando o máximo divisor comum (mdc) e a propriedade que liga mdc e mmc. Definimos:
Então podemos escrever
onde
e
são inteiros positivos e
(por construção, retiramos o fator comum
). Esta mudança é padrão e ajuda a separar a parte comum (
) da parte coprima (
).
Passo 3
Agora use a relação entre mmc e os fatores acima. Quando
vale
. Portanto
Pelo enunciado temos
, então obtemos a equação
Também da soma
vem
Assim reduzimos o problema para encontrar inteiros positivos
com
que satisfazem
Passo 4
Algumas observações úteis e limitação das possibilidades:
- Da primeira equação segue que
divide . - Da segunda segue que
divide .
Logodivide . Calculando : , , então . Portanto é divisor de . - Assim basta testar os divisores positivos de
: .
Para cada possível
definimos
Procuramos inteiros positivos
com
tais que somam
e multiplicam
. Isso equivale a achar raízes inteiras da equação quadrática
ou mais concretamente achar pares de fatores positivos de
que somam
.
Passo 5
Vamos testar cada divisor
:
-
: , . Fatores de que somam ? Os pares são . Nenhum soma . Logo não serve. -
: , . Fatores de que somam ? Pares . Nenhum soma . Não serve. -
: , . Fatores de : . Nenhum soma . Não serve. -
: , . Fatores de : . Nenhum soma . Não serve. -
: , . Fatores de : . Nenhum soma . Não serve. -
: , . Fatores de : . Nenhum soma . Não serve. -
: , . Fatores de : . Nenhum soma . Não serve. -
: , . Fatores de : . O par soma , portanto é solução com e . Além disso , como exigido.
Portanto o único
que funciona é
, com
e
.
Passo 6
Voltando às variáveis originais
e
, com
,
,
temos:
Verificações rápidas (para não vacilar na prova):
- Soma:
. - mmc: como
e , então . Ou diretamente porque as partes coprimas são e .
Também note que a ordem dos números não importa:
e
representam a mesma solução em termos de conjunto.