Determine dois números cuja soma é 120 e o mmc é 144. R: a=12 e b=108 ou a=24 \mathrm{e} \mathrm{b}=96.

Passo 1

O enunciado pede: "Determine dois números cuja soma é 120 e o mmc é 144". Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Temos dois números inteiros positivos (vou chamá-los de a e b).
  • Sabemos que \,a+b=120\,.
  • Sabemos que \operatorname{mmc}(a,b)=144.
  • Precisamos encontrar todos os pares (a,b) inteiros positivos que satisfaçam essas duas condições.

Passo 2

Vamos organizar as incógnitas usando o máximo divisor comum (mdc) e a propriedade que liga mdc e mmc. Definimos:
g=\gcd(a,b).
Então podemos escrever
a=gx,\qquad b=gy,
onde x e y são inteiros positivos e \gcd(x,y)=1 (por construção, retiramos o fator comum g). Esta mudança é padrão e ajuda a separar a parte comum ( g) da parte coprima ( x,y).

Passo 3

Agora use a relação entre mmc e os fatores acima. Quando \gcd(x,y)=1 vale \operatorname{mmc}(x,y)=xy. Portanto
\operatorname{mmc}(a,b)=\operatorname{mmc}(gx,gy)=g\cdot\operatorname{mmc}(x,y)=g\cdot x y.
Pelo enunciado temos \operatorname{mmc}(a,b)=144, então obtemos a equação
gxy=144.
Também da soma a+b=120 vem
g(x+y)=120.
Assim reduzimos o problema para encontrar inteiros positivos g,x,y com \gcd(x,y)=1 que satisfazem
\begin{cases} g(x+y)=120,\\[4pt] gxy=144. \end{cases}]

Passo 4

Algumas observações úteis e limitação das possibilidades:
  • Da primeira equação segue que g divide 120.
  • Da segunda segue que g divide 144.
    Logo g divide \gcd(120,144). Calculando \gcd(120,144): 120=2^3\cdot3\cdot5, 144=2^4\cdot3^2, então \gcd(120,144)=2^3\cdot3=24. Portanto g é divisor de 24.
  • Assim basta testar os divisores positivos de 24: g\in\{1,2,3,4,6,8,12,24\}.
Para cada possível g definimos
S=\frac{120}{g}=x+y,\qquad P=\frac{144}{g}=xy.
Procuramos inteiros positivos x,y com \gcd(x,y)=1 tais que somam S e multiplicam P. Isso equivale a achar raízes inteiras da equação quadrática
t^2 - S t + P = 0,
ou mais concretamente achar pares de fatores positivos de P que somam S.

Passo 5

Vamos testar cada divisor g:
  • g=1: S=120, P=144. Fatores de 144 que somam 120? Os pares são (1,144),(2,72),(3,48),(4,36),(6,24),(8,18),(9,16),(12,12). Nenhum soma 120. Logo não serve.
  • g=2: S=60, P=72. Fatores de 72 que somam 60? Pares (1,72),(2,36),(3,24),(4,18),(6,12),(8,9). Nenhum soma 60. Não serve.
  • g=3: S=40, P=48. Fatores de 48: (1,48),(2,24),(3,16),(4,12),(6,8). Nenhum soma 40. Não serve.
  • g=4: S=30, P=36. Fatores de 36: (1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6). Nenhum soma 30. Não serve.
  • g=6: S=20, P=24. Fatores de 24: (1,24),(2,12),(3,8),(4,6). Nenhum soma 20. Não serve.
  • g=8: S=15, P=18. Fatores de 18: (1,18),(2,9),(3,6). Nenhum soma 15. Não serve.
  • g=12: S=10, P=12. Fatores de 12: (1,12),(2,6),(3,4). Nenhum soma 10. Não serve.
  • g=24: S=5, P=6. Fatores de 6: (1,6),(2,3). O par (2,3) soma 5, portanto é solução com x=2 e y=3. Além disso \gcd(2,3)=1, como exigido.
Portanto o único g que funciona é g=24, com x=2 e y=3.

Passo 6

Voltando às variáveis originais a=gx e b=gy, com g=24, x=2, y=3 temos:
a=24\cdot 2=48,\qquad b=24\cdot 3=72.
Verificações rápidas (para não vacilar na prova):
  • Soma: 48+72=120.
  • mmc: como \gcd(48,72)=24 e 48\cdot72=24\cdot 144, então \operatorname{mmc}(48,72)=\dfrac{48\cdot72}{\gcd(48,72)}=\dfrac{24\cdot144}{24}=144. Ou diretamente \operatorname{mmc}(48,72)=24\cdot(2\cdot3)=144 porque as partes coprimas são 2 e 3.
Também note que a ordem dos números não importa: (48,72) e (72,48) representam a mesma solução em termos de conjunto.

Resposta

a=48 e b=72
a=72 e b=48

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