Na minha escola, há 180 alunos na
série, 168 na
série, 144 na
série e 120 na
. Para uma feira de ciências, todos esses alunos serão organizados em grupos com o mesmo número de elementos, sem misturar alunos de série diferentes.
Passo 1
Dados fornecidos pelo enunciado:
- Há
alunos na série. - Há
alunos na série. - Há
alunos na série. - Há
alunos na série.
O que o enunciado pede (implícito pelo contexto):
- Organizar todos esses alunos em grupos com o mesmo número de elementos, sem misturar séries.
- Perguntas que vamos responder: qual o maior número de alunos que pode haver em cada grupo? E, com esse tamanho de grupo, quantos grupos serão formados em cada série?
Passo 2
Raciocínio sobre o método (sem jargão técnico pesado): se todos os grupos têm o mesmo tamanho
, então
deve dividir exatamente cada um dos números
. Para que o tamanho seja o maior possível, buscamos o maior inteiro que divide todos esses números ao mesmo tempo — ou seja, o máximo divisor comum desses quatro números. Vou calcular isso ensinando passo a passo pela fatoração prima (método direto e bem visual), porque é fácil de aplicar na prova e sem precisar de calculadora.
Passo 3
Explicando fatoração prima (mini-aula): fatorar um número em primos significa escrevê-lo como produto de primos (2, 3, 5, 7, …). Para cada número, vamos dividir por primos pequenos até chegar a 1. Cada vez que dividimos por um primo, anotamos esse primo como fator.
Fatoração de
:
-
→ há um fator . -
→ mais um . -
→ um . -
→ mais um . -
→ um .
Portanto, a fatoração é.
Passo 4
Fatoração de
:
-
→ . -
→ outro . -
→ outro . -
→ . -
→ .
Logo,.
Passo 5
Fatoração de
:
-
-
-
-
(temos quatro fatoresaté aqui) -
-
Logo,.
Passo 6
Fatoração de
:
-
-
-
(temos três fatores) -
→ um -
→ um
Logo,.
Passo 7
Resumindo as fatorações (mostrando os fatores primos de cada número):
Passo 8
Como encontrar o maior divisor comum a todos (explicação didática): o máximo divisor comum (MDC) é obtido pegando, para cada primo que aparece em todas as fatorações, a menor potência com que esse primo aparece nas quatro fatorações, e multiplicando essas potências.
- O primo
aparece com expoentes nas quatro fatorações; o menor é , então contribuímos com . - O primo
aparece com expoentes ; o menor é , então contribuímos com . - Os primos
e não aparecem em todas as fatorações (por exemplo, só aparece em e aparece em e ), logo não entram no MDC.
Portanto,
Interpretação: o maior número de alunos que pode haver em cada grupo, mantendo o mesmo tamanho para todas as séries e sem misturar séries, é
.
Passo 9
Calcular quantos grupos serão formados em cada série (dividindo o número de alunos pelo tamanho do grupo):
- Para a
série: grupos. - Para a
série: grupos. - Para a
série: grupos. - Para a
série: grupos.
Esses quocientes são inteiros, como precisava ser; se tentássemos um tamanho maior que
, ele não dividiria algum dos números e não seria possível agrupar exatamente todos sem misturar séries.
Resposta
Maior número de alunos por grupo:
Número de grupos por série:
Número de grupos por série: