Na minha escola, há 180 alunos na 5^{a} série, 168 na 6^{a} série, 144 na 7^{a} série e 120 na 8^{a}. Para uma feira de ciências, todos esses alunos serão organizados em grupos com o mesmo número de elementos, sem misturar alunos de série diferentes.

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado:
  • \,180\, alunos na 5^{a} série.
  • \,168\, alunos na 6^{a} série.
  • \,144\, alunos na 7^{a} série.
  • \,120\, alunos na 8^{a} série.
O que o enunciado pede (implícito pelo contexto):
  • Organizar todos esses alunos em grupos com o mesmo número de elementos, sem misturar séries.
  • Perguntas que vamos responder: qual o maior número de alunos que pode haver em cada grupo? E, com esse tamanho de grupo, quantos grupos serão formados em cada série?

Passo 2

Raciocínio sobre o método (sem jargão técnico pesado): se todos os grupos têm o mesmo tamanho \,d\,, então \,d\, deve dividir exatamente cada um dos números \,180,168,144,120. Para que o tamanho seja o maior possível, buscamos o maior inteiro que divide todos esses números ao mesmo tempo — ou seja, o máximo divisor comum desses quatro números. Vou calcular isso ensinando passo a passo pela fatoração prima (método direto e bem visual), porque é fácil de aplicar na prova e sem precisar de calculadora.

Passo 3

Explicando fatoração prima (mini-aula): fatorar um número em primos significa escrevê-lo como produto de primos (2, 3, 5, 7, …). Para cada número, vamos dividir por primos pequenos até chegar a 1. Cada vez que dividimos por um primo, anotamos esse primo como fator.
Fatoração de \,180\,:
  • \,180 \div 2 = 90\, → há um fator 2.
  • \,90 \div 2 = 45\, → mais um 2.
  • \,45 \div 3 = 15\, → um 3.
  • \,15 \div 3 = 5\, → mais um 3.
  • \,5 \div 5 = 1\, → um 5.
    Portanto, a fatoração é \,180 = 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\,.

Passo 4

Fatoração de \,168\,:
  • \,168 \div 2 = 84\, 2.
  • \,84 \div 2 = 42\, → outro 2.
  • \,42 \div 2 = 21\, → outro 2.
  • \,21 \div 3 = 7\, 3.
  • \,7 \div 7 = 1\, 7.
    Logo, \,168 = 2^{3}\cdot 3\cdot 7\,.

Passo 5

Fatoração de \,144\,:
  • \,144 \div 2 = 72\,
  • \,72 \div 2 = 36\,
  • \,36 \div 2 = 18\,
  • \,18 \div 2 = 9\,
    (temos quatro fatores 2 até aqui)
  • \,9 \div 3 = 3\,
  • \,3 \div 3 = 1\,
    Logo, \,144 = 2^{4}\cdot 3^{2}\,.

Passo 6

Fatoração de \,120\,:
  • \,120 \div 2 = 60\,
  • \,60 \div 2 = 30\,
  • \,30 \div 2 = 15\,
    (temos três fatores 2)
  • \,15 \div 3 = 5\, → um 3
  • \,5 \div 5 = 1\, → um 5
    Logo, \,120 = 2^{3}\cdot 3\cdot 5\,.

Passo 7

Resumindo as fatorações (mostrando os fatores primos de cada número):
180 = 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5
168 = 2^{3}\cdot 3\cdot 7
144 = 2^{4}\cdot 3^{2}
120 = 2^{3}\cdot 3\cdot 5

Passo 8

Como encontrar o maior divisor comum a todos (explicação didática): o máximo divisor comum (MDC) é obtido pegando, para cada primo que aparece em todas as fatorações, a menor potência com que esse primo aparece nas quatro fatorações, e multiplicando essas potências.
  • O primo 2 aparece com expoentes \,2,3,4,3\, nas quatro fatorações; o menor é \,2\,, então contribuímos com 2^{2}.
  • O primo 3 aparece com expoentes \,2,1,2,1\,; o menor é \,1\,, então contribuímos com 3^{1}.
  • Os primos 5 e 7 não aparecem em todas as fatorações (por exemplo, 7 só aparece em \,168 e 5 aparece em \,180 e \,120), logo não entram no MDC.
Portanto,
\gcd(180,168,144,120) = 2^{2}\cdot 3 = 4\cdot 3 = 12.
Interpretação: o maior número de alunos que pode haver em cada grupo, mantendo o mesmo tamanho para todas as séries e sem misturar séries, é \,12\,.

Passo 9

Calcular quantos grupos serão formados em cada série (dividindo o número de alunos pelo tamanho do grupo):
  • Para a 5^{a} série: \,180 \div 12 = 15\, grupos.
  • Para a 6^{a} série: \,168 \div 12 = 14\, grupos.
  • Para a 7^{a} série: \,144 \div 12 = 12\, grupos.
  • Para a 8^{a} série: \,120 \div 12 = 10\, grupos.
Esses quocientes são inteiros, como precisava ser; se tentássemos um tamanho maior que \,12\,, ele não dividiria algum dos números e não seria possível agrupar exatamente todos sem misturar séries.

Resposta

Maior número de alunos por grupo: \,12\,
Número de grupos por série: \,180\div12=15,\;168\div12=14,\;144\div12=12,\;120\div12=10\,

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