Programe o método da bissecção e encontre com precisão de 10^{-3} todas as raízes de:
2^{x}-2 x^{2}+1=0

Passo 1

O que o problema pede e quais informações nos foram dadas.
  • Pede-se: programar (ou seja, aplicar na prática) o método da bissecção e encontrar, com precisão \,10^{-3}, todas as raízes reais da equação
2^{x}-2x^{2}+1=0.
  • Informação dada: a função a considerar é
f(x)=2^{x}-2x^{2}+1.
  • Objetivo prático: encontrar todos os x\in\mathbb{R} tais que f(x)=0, com erro máximo da solução menor ou igual a \,10^{-3}.

Passo 2

O método da bissecção — explicação didática e pseudocódigo.
  • Ideia principal: se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em (a,b) (Teorema do Valor Intermediário). A bissecção consiste em dividir o intervalo ao meio repetidamente e escolher o subintervalo que contém a raiz (o que mantém os sinais opostos nas extremidades).
  • Operação por iteração: dados extremos a e b com f(a)f(b)<0,
    1. calcular o ponto médio \displaystyle m=\frac{a+b}{2};
    2. computar f(m);
    3. se f(a)f(m)\le 0 então a raiz está em [a,m], senão está em [m,b];
    4. repetir até que o critério de parada seja atendido.
  • Critério de parada usado aqui (controle de erro absoluto na abscissa): parar quando
\frac{b-a}{2}\le \varepsilon,
onde \varepsilon=10^{-3}. Nesse caso, o ponto médio final tem erro no x menor ou igual a \varepsilon.
  • Pseudocódigo (em linguagem simples):
\begin{array}{l} \text{Entrada: }a,b,f,\varepsilon\quad\text{com }f(a)f(b)<0\\\ \text{Enquanto }\frac{b-a}{2}>\varepsilon \text{ faça:}\\\ \quad m=\dfrac{a+b}{2}\\\ \quad \text{se }f(a)\cdot f(m)\le 0 \text{ então } b=m \text{ senão } a=m\\\ \text{Fim enquanto}\\\ \text{Retornar }m=\dfrac{a+b}{2}. \end{array}çãã
  • Observação prática: para encontrar “todas” as raízes reais, primeiro varremos o eixo x (por exemplo em pontos inteiros) procurando intervalos onde f muda de sinal; cada mudança de sinal dá um intervalo que pode ser refinado pela bissecção.

Passo 3

Encontrar intervalos iniciais que contenham raízes (varredura por valores inteiros).
Vou calcular f(x)=2^{x}-2x^{2}+1 em vários inteiros e anotar o sinal (todos os cálculos numéricos são aproximações decimais).
  • f(-2)=2^{-2}-2(-2)^{2}+1=\dfrac{1}{4}-8+1=\dfrac{1}{4}-7=-6,\!75 então f(-2)<0.
  • f(-1)=2^{-1}-2(-1)^{2}+1=\dfrac{1}{2}-2+1=-0,\!5 então f(-1)<0.
  • f(0)=2^{0}-0+1=1+1=2 então f(0)>0.
    Portanto há mudança de sinal entre x=-1 e x=0, logo existe pelo menos uma raiz em (-1,0).
  • f(1)=2^{1}-2(1)^{2}+1=2-2+1=1 então f(1)>0.
  • f(2)=2^{2}-2\cdot 2^{2}+1=4-8+1=-3 então f(2)<0.
    Portanto há mudança de sinal entre x=1 e x=2, logo existe ao menos uma raiz em (1,2).
  • Continuei a varredura:
    • f(3)=8-18+1=-9<0.
    • f(4)=16-32+1=-15<0.
    • f(5)=32-50+1=-17<0.
    • f(6)=64-72+1=-7<0.
    • f(7)=128-98+1=31>0.
      Logo há mudança de sinal entre x=6 e x=7, ou seja, uma raiz em (6,7).
  • Conclusão desta varredura: encontrei três intervalos com mudança de sinal (e, portanto, cada um contendo pelo menos uma raiz): (-1,0),\quad (1,2),\quad (6,7).Como f(x)\to -\infty quando x\to -\infty e f(x)\to +\infty quando x\to +\infty, e não houve outras mudanças de sinal entre inteiros testados, assumimos que essas três são todas as raízes reais (uma por intervalo).

Passo 4

Aplicar bissecção em [a,b]=[-1,0] até \dfrac{b-a}{2}\le 10^{-3} — iterações detalhadas e explicadas.
Definimos f(x)=2^{x}-2x^{2}+1 e \varepsilon=10^{-3}.
Iterações (mostro a,\;b,\;m=(a+b)/2 e f(m); uso aproximações decimais com vírgula):
  1. a=-1,\;b=0. m=-0,-5.
    f(-0,-5)=2^{-0,-5}-2(-0,-5)^{2}+1\approx 0,7071+0,5=1,2071>0. Como f(a)<0 e f(m)>0, nova faixa é [-1,-0,5].
  2. a=-1,\;b=-0,-5. m=-0,75.
    f(-0,75)\approx 0,5946-0,125=0,4696>0. Nova faixa [-1,-0,75].
  3. a=-1,\;b=-0,75. m=-0,875.
    f(-0,875)\approx 0,5455-0,53125=0,01425>0. Nova faixa [-1,-0,875].
  4. a=-1,\;b=-0,875. m=-0,9375.
    f(-0,9375)\approx 0,5220-0,7578=-0,2358<0. Nova faixa [-0,9375,-0,875].
  5. a=-0,9375,\;b=-0,875. m=-0,90625.
    f(-0,90625)\approx 0,5335-0,6426=-0,1091<0. Nova faixa [-0,90625,-0,875].
  6. a=-0,90625,\;b=-0,875. m=-0,890625.
    f(-0,890625)\approx 0,5395-0,5864=-0,0469<0. Nova faixa [-0,890625,-0,875].
  7. a=-0,890625,\;b=-0,875. m=-0,8828125.
    f(-0,8828125)\approx 0,5425-0,5580=-0,0155<0. Nova faixa [-0,8828125,-0,875].
  8. a=-0,8828125,\;b=-0,875. m=-0,87890625.
    f(-0,87890625)\approx 0,5440-0,5446=-0,0006<0. Nova faixa [-0,87890625,-0,875].
  9. a=-0,87890625,\;b=-0,875. m=-0,876953125.
    f(-0,876953125)\approx 0,5448-0,5381=0,0067>0. Nova faixa [-0,87890625,-0,876953125].
Agora \dfrac{b-a}{2}=\dfrac{0,001953125}{2}=0,0009765625\le 10^{-3}. Portanto paramos. Estimativa final da raiz é o ponto médio
x\approx m=\frac{-0,87890625+(-0,876953125)}{2}=-0,8779296875.
Arredondando à precisão solicitada \,10^{-3} (3 casas decimais) obtemos x\approx -0,878.

Passo 5

Aplicar bissecção em [a,b]=[1,2] (iteração detalhada similarmente).
Iterações (resumo com a,b,m,f(m)):
  1. a=1,\;b=2. m=1,5. f(1,5)\approx 2,8284-3,5=-0,6716<0. Nova faixa [1,1,5].
  2. a=1,\;b=1,5. m=1,25. f(1,25)\approx 2,3784-2,125=0,2534>0. Nova faixa [1,25,1,5] (ou seja [1,25,1,5]).
  3. a=1,25,\;b=1,5. m=1,375. f(1,375)\approx 2,5920-2,78125=-0,1893<0. Nova faixa [1,25,1,375].
  4. a=1,25,\;b=1,375. m=1,3125. f(1,3125)\approx 2,4830-2,44531=0,0377>0. Nova faixa [1,3125,1,375].
  5. a=1,3125,\;b=1,375. m=1,34375. f(1,34375)\approx 2,5370-2,61328=-0,0763<0. Nova faixa [1,3125,1,34375].
  6. a=1,3125,\;b=1,34375. m=1,328125. f(1,328125)\approx 2,5090-2,52930=-0,0203<0. Nova faixa [1,3125,1,328125].
  7. a=1,3125,\;b=1,328125. m=1,3203125. f(1,3203125)\approx 2,4960-2,48480=0,0112>0. Nova faixa [1,3203125,1,328125].
  8. a=1,3203125,\;b=1,328125. m=1,32421875. f(1,32421875)\approx 2,5025-2,50680=-0,0043<0. Nova faixa [1,3203125,1,32421875].
  9. a=1,3203125,\;b=1,32421875. m=1,322265625. f(1,322265625)\approx 2,4993-2,4978=0,0015>0. Nova faixa [1,322265625,1,32421875].
Agora \dfrac{b-a}{2}=\dfrac{1,32421875-1,322265625}{2}=0,0009765625\le 10^{-3}. Paramos. Estimativa final (ponto médio)
x\approx m=\frac{1,322265625+1,32421875}{2}=1,3232421875.
Arredondando a \,10^{-3} obtemos x\approx 1,323.

Passo 6

Aplicar bissecção em [a,b]=[6,7] (iteração detalhada resumida).
Iterações:
  1. a=6,\;b=7. m=6,5. f(6,5)\approx 90,509-83,5=7,009>0. Nova faixa [6,6,5].
  2. a=6,\;b=6,5. m=6,25. f(6,25)\approx 76,109-77,125=-1,016<0. Nova faixa [6,25,6,5].
  3. a=6,25,\;b=6,5. m=6,375. f(6,375)\approx 82,980-80,281=2,699>0. Nova faixa [6,25,6,375].
  4. a=6,25,\;b=6,375. m=6,3125. f(6,3125)\approx 79,482-78,695=0,787>0. Nova faixa [6,25,6,3125].
  5. a=6,25,\;b=6,3125. m=6,28125. f(6,28125)\approx 77,79-77,91=-0,12<0. Nova faixa [6,28125,6,3125].
  6. a=6,28125,\;b=6,3125. m=6,296875. f(6,296875)\approx 78,626-78,302=0,324>0. Nova faixa [6,28125,6,296875].
  7. a=6,28125,\;b=6,296875. m=6,2890625. f(6,2890625)\approx 78,206-78,106=0,100>0. Nova faixa [6,28125,6,2890625].
  8. a=6,28125,\;b=6,2890625. m=6,28515625. f(6,28515625)\approx 78,000-78,086=-0,0866<0. Nova faixa [6,28515625,6,2890625].
  9. a=6,28515625,\;b=6,2890625. m=6,287109375. f(6,287109375)\approx 78,103-78,135=-0,0327<0. Nova faixa [6,287109375,6,2890625].
  10. a=6,287109375,\;b=6,2890625. m=6,2880859375. f(6,2880859375)\approx 78,154-78,160=-0,0062<0. Nova faixa [6,2880859375,6,2890625].
Agora \dfrac{b-a}{2}=\dfrac{6,2890625-6,2880859375}{2}=0,00048828125\le 10^{-3}. Paramos. Estimativa final
x\approx m=\frac{6,2880859375+6,2890625}{2}=6,28857421875.
Arredondando a \,10^{-3} obtemos x\approx 6,289.

Passo 7

Verificação rápida (avaliar f nos pontos aproximados para confirmar que são próximos de zero).
  • f(-0,87793)\approx muito próximo de 0 (positivo/negativo da ordem 10^{-3} ou menor), conforme as decisões de bissecção.
  • f(1,32324)\approx muito próximo de 0.
  • f(6,28857)\approx muito próximo de 0.
Esses valores cumprem o critério de precisão em x (erro menor que \,10^{-3} no valor de x).

Resposta

-0,878
1,323
6,289

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