Programe o método da bissecção e encontre com precisão de
todas as raízes de:
Passo 1
O que o problema pede e quais informações nos foram dadas.
- Pede-se: programar (ou seja, aplicar na prática) o método da bissecção e encontrar, com precisão
, todas as raízes reais da equação
- Informação dada: a função a considerar é
- Objetivo prático: encontrar todos os
tais que , com erro máximo da solução menor ou igual a .
Passo 2
O método da bissecção — explicação didática e pseudocódigo.
- Ideia principal: se
é contínua em e e têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em (Teorema do Valor Intermediário). A bissecção consiste em dividir o intervalo ao meio repetidamente e escolher o subintervalo que contém a raiz (o que mantém os sinais opostos nas extremidades). - Operação por iteração: dados extremos
e com , - calcular o ponto médio
; - computar
; - se
então a raiz está em , senão está em ; - repetir até que o critério de parada seja atendido.
- calcular o ponto médio
- Critério de parada usado aqui (controle de erro absoluto na abscissa): parar quando
onde
. Nesse caso, o ponto médio final tem erro no
menor ou igual a
.
- Pseudocódigo (em linguagem simples):
- Observação prática: para encontrar “todas” as raízes reais, primeiro varremos o eixo
(por exemplo em pontos inteiros) procurando intervalos onde muda de sinal; cada mudança de sinal dá um intervalo que pode ser refinado pela bissecção.
Passo 3
Encontrar intervalos iniciais que contenham raízes (varredura por valores inteiros).
Vou calcular
em vários inteiros e anotar o sinal (todos os cálculos numéricos são aproximações decimais).
-
então . -
então . -
então .
Portanto há mudança de sinal entree , logo existe pelo menos uma raiz em . -
então . -
então .
Portanto há mudança de sinal entree , logo existe ao menos uma raiz em . - Continuei a varredura:
-
. -
. -
. -
. -
.
Logo há mudança de sinal entree , ou seja, uma raiz em .
-
- Conclusão desta varredura: encontrei três intervalos com mudança de sinal (e, portanto, cada um contendo pelo menos uma raiz):
Como quando e quando , e não houve outras mudanças de sinal entre inteiros testados, assumimos que essas três são todas as raízes reais (uma por intervalo).
Passo 4
Aplicar bissecção em
até
— iterações detalhadas e explicadas.
Definimos
e
.
Iterações (mostro
e
; uso aproximações decimais com vírgula):
-
. .
. Como e , nova faixa é . -
. .
. Nova faixa . -
. .
. Nova faixa . -
. .
. Nova faixa . -
. .
. Nova faixa . -
. .
. Nova faixa . -
. .
. Nova faixa . -
. .
. Nova faixa . -
. .
. Nova faixa .
Agora
. Portanto paramos. Estimativa final da raiz é o ponto médio
Arredondando à precisão solicitada
(3 casas decimais) obtemos
.
Passo 5
Aplicar bissecção em
(iteração detalhada similarmente).
Iterações (resumo com
):
-
. . . Nova faixa . -
. . . Nova faixa (ou seja ). -
. . . Nova faixa . -
. . . Nova faixa . -
. . . Nova faixa . -
. . . Nova faixa . -
. . . Nova faixa . -
. . . Nova faixa . -
. . . Nova faixa .
Agora
. Paramos. Estimativa final (ponto médio)
Arredondando a
obtemos
.
Passo 6
Aplicar bissecção em
(iteração detalhada resumida).
Iterações:
-
. . . Nova faixa . -
. . . Nova faixa . -
. . . Nova faixa . -
. . . Nova faixa . -
. . . Nova faixa . -
. . . Nova faixa . -
. . . Nova faixa . -
. . . Nova faixa . -
. . . Nova faixa . -
. . . Nova faixa .
Agora
. Paramos. Estimativa final
Arredondando a
obtemos
.
Passo 7
Verificação rápida (avaliar
nos pontos aproximados para confirmar que são próximos de zero).
-
muito próximo de (positivo/negativo da ordem ou menor), conforme as decisões de bissecção. -
muito próximo de . -
muito próximo de .
Esses valores cumprem o critério de precisão em
(erro menor que
no valor de
).