11- Faça o fluxograma do Método de Newton-Raphson.
Passo 1
O enunciado pede que eu faça o fluxograma do Método de Newton-Raphson.
Informações / dados que o fluxograma deve receber (entradas) e que normalmente existem no enunciado de um problema que usa este método:
Informações / dados que o fluxograma deve receber (entradas) e que normalmente existem no enunciado de um problema que usa este método:
- A função a cuja raiz procuramos:
. - A derivada da função:
. - Um chute inicial para a raiz:
. - Uma tolerância para critério de parada:
. - Um número máximo de iterações permitido:
.
Passo 2
Derivação e fórmula iterativa (fundamento que o fluxograma implementa).
Explicação didática passo a passo: usamos a aproximação linear (expansão de Taylor de primeira ordem) de ao redor de um ponto
. Escrevemos
Explicação didática passo a passo: usamos a aproximação linear (expansão de Taylor de primeira ordem) de
Se quisermos aproximar uma raiz, colocamos
. Assim:
Tomando
como aproximação atual e
, obtemos a fórmula iterativa usada no método:
Explicação das variáveis:
é a aproximação na iteração
;
é o valor da função nesse ponto;
é a derivada no ponto (necessária para a divisão). Essa fórmula é a regra que o fluxograma repetirá enquanto não atingirmos os critérios de parada.
Passo 3
Critérios de parada e escolhas práticas (o que o fluxograma verifica).
Os critérios mais usados são:
Os critérios mais usados são:
- Convergência no espaço das iteradas:
. - Ou convergência no valor da função:
. - Ou atingir o máximo de iterações:
.
Explicação: a tolerânciaé um número pequeno (por exemplo ou ). Usar ambas verificações (diferença entre x e valor de f) é mais seguro: a primeira garante que a solução não está mais mudando; a segunda garante que realmente aproximamos uma raiz.
Passo 4
Casos especiais e salvaguardas a colocar no fluxograma.
- Derivada nula: se em alguma iteração
a expressão fica indefinida; o fluxograma deve detectar (ou muito pequeno) e tratar como falha: abortar ou tentar outro método (por simplicidade: reportar erro derivada zero e parar). - Não convergência / divergência: monitorar número de iterações e possivelmente tamanho de saltos
(se muito grande pode indicar divergência). Se atingir , reportar não convergência. - Sugestão prática: permitir pequenos ajustes, p.ex. se
com muito pequeno (e.g. ), tratar como derivada aproximando zero.
Passo 5
Descrição passo a passo do fluxo (cada bloco do fluxograma e o que faz).
- Início.
- Entrada das informações:
, , , , . - Inicializar:
, . - Avaliar
e . - Testar se
(ou ). Se sim: reportar “Erro: derivada nula” e terminar. - Calcular
. - Avaliar critérios de parada: se
ou então: reportar sucesso com raiz e terminar. - Caso contrário: incrementar
. Se então: reportar “Falha: não convergiu em iterações” e terminar. - Se não atingiu
: atualizar e voltar ao passo 4 (loop).
Passo 6
Como transformar essa descrição em um fluxograma visual (dicas práticas para desenhar).
- Use formas padrão: elipse para Início/Fim; paralelogramo para Entradas/Saídas; retângulos para Processos (avaliar
, calcular ); losangos para Decisões (checar , checar tolerância, checar ). - Ligue com setas na ordem dos passos 1→2→3→4…; no losango tenha duas saídas: “Sim” e “Não”.
- Coloque mensagens de saída explícitas: “Raiz =
(convergiu)” / “Erro: derivada nula” / “Não convergiu”. - Opcional: adicionar bloco de documentação que mostre valores finais de
, , e .
Passo 7
Observações finais e sugestões para a prova (como desenhar rápido e o que escrever).
- No desenho da prova, foque em mostrar o laço principal: avaliar
→ checar ≠ 0 → calcular → checar tolerância → atualizar contador e repetição. Isso demonstra que você entendeu o algoritmo. - Escreva explicitamente a fórmula iterativa
próxima ao bloco de cálculo. - Se tiver espaço, indique os critérios de parada usados (
ou ). - Seja claro sobre o que acontece quando
: note isso no fluxograma como caminho de erro.
Resposta
Início\nEntrada:
\n
\nAvaliar
e
\nDecisão:
? — Se Sim: Saída “Erro: derivada nula” e Fim. — Se Não: continuar\nProcesso:
\nDecisão:
ou
? — Se Sim: Saída "Convergiu: raiz =
" e Fim. — Se Não: continuar\n
\nDecisão:
? — Se Sim: Saída “Falha: não convergiu em
iterações” e Fim. — Se Não:
e voltar para "Avaliar
e
".