11- Faça o fluxograma do Método de Newton-Raphson.

Passo 1

O enunciado pede que eu faça o fluxograma do Método de Newton-Raphson.
Informações / dados que o fluxograma deve receber (entradas) e que normalmente existem no enunciado de um problema que usa este método:
  • A função a cuja raiz procuramos: f.
  • A derivada da função: f'.
  • Um chute inicial para a raiz: x_0.
  • Uma tolerância para critério de parada: \text{tol}.
  • Um número máximo de iterações permitido: N_{\max}.

Passo 2

Derivação e fórmula iterativa (fundamento que o fluxograma implementa).
Explicação didática passo a passo: usamos a aproximação linear (expansão de Taylor de primeira ordem) de f ao redor de um ponto x. Escrevemos
f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\,\Delta x.
Se quisermos aproximar uma raiz, colocamos f(x+\Delta x)\approx 0. Assim:
0\approx f(x)+f'(x)\,\Delta x \quad\Rightarrow\quad \Delta x \approx -\frac{f(x)}{f'(x)}.
Tomando x_{n} como aproximação atual e x_{n+1}=x_{n}+\Delta x, obtemos a fórmula iterativa usada no método:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Explicação das variáveis: x_n é a aproximação na iteração n; f(x_n) é o valor da função nesse ponto; f'(x_n) é a derivada no ponto (necessária para a divisão). Essa fórmula é a regra que o fluxograma repetirá enquanto não atingirmos os critérios de parada.

Passo 3

Critérios de parada e escolhas práticas (o que o fluxograma verifica).
Os critérios mais usados são:
  • Convergência no espaço das iteradas: |x_{n+1}-x_n|<\text{tol}.
  • Ou convergência no valor da função: |f(x_{n+1})|<\text{tol}.
  • Ou atingir o máximo de iterações: n\ge N_{\max}.
    Explicação: a tolerância \text{tol} é um número pequeno (por exemplo 10^{-6} ou 10^{-8}). Usar ambas verificações (diferença entre x e valor de f) é mais seguro: a primeira garante que a solução não está mais mudando; a segunda garante que realmente aproximamos uma raiz.

Passo 4

Casos especiais e salvaguardas a colocar no fluxograma.
  • Derivada nula: se em alguma iteração f'(x_n)=0 a expressão -f(x_n)/f'(x_n) fica indefinida; o fluxograma deve detectar f'(x_n)=0 (ou muito pequeno) e tratar como falha: abortar ou tentar outro método (por simplicidade: reportar erro derivada zero e parar).
  • Não convergência / divergência: monitorar número de iterações e possivelmente tamanho de saltos |x_{n+1}-x_n| (se muito grande pode indicar divergência). Se atingir N_{\max}, reportar não convergência.
  • Sugestão prática: permitir pequenos ajustes, p.ex. se |f'(x_n)|<\varepsilon com \varepsilon muito pequeno (e.g. 10^{-12}), tratar como derivada aproximando zero.

Passo 5

Descrição passo a passo do fluxo (cada bloco do fluxograma e o que faz).
  1. Início.
  2. Entrada das informações: f, f', x_0, \text{tol}, N_{\max}.
  3. Inicializar: n\leftarrow 0, x\leftarrow x_0.
  4. Avaliar f(x) e f'(x).
  5. Testar se f'(x)=0 (ou |f'(x)|<\varepsilon). Se sim: reportar “Erro: derivada nula” e terminar.
  6. Calcular x_{\text{novo}} = x - \dfrac{f(x)}{f'(x)}.
  7. Avaliar critérios de parada: se |x_{\text{novo}}-x|<\text{tol} ou |f(x_{\text{novo}})|<\text{tol} então: reportar sucesso com raiz x_{\text{novo}} e terminar.
  8. Caso contrário: incrementar n\leftarrow n+1. Se n\ge N_{\max} então: reportar “Falha: não convergiu em N_{\max} iterações” e terminar.
  9. Se não atingiu N_{\max}: atualizar x\leftarrow x_{\text{novo}} e voltar ao passo 4 (loop).

Passo 6

Como transformar essa descrição em um fluxograma visual (dicas práticas para desenhar).
  • Use formas padrão: elipse para Início/Fim; paralelogramo para Entradas/Saídas; retângulos para Processos (avaliar f, calcular x_{\text{novo}}); losangos para Decisões (checar f'(x)=0, checar tolerância, checar N_{\max}).
  • Ligue com setas na ordem dos passos 1→2→3→4…; no losango tenha duas saídas: “Sim” e “Não”.
  • Coloque mensagens de saída explícitas: “Raiz = x_{\text{novo}} (convergiu)” / “Erro: derivada nula” / “Não convergiu”.
  • Opcional: adicionar bloco de documentação que mostre valores finais de n, |f(x)|, e |x_{n+1}-x_n|.

Passo 7

Observações finais e sugestões para a prova (como desenhar rápido e o que escrever).
  • No desenho da prova, foque em mostrar o laço principal: avaliar f,f' → checar f' ≠ 0 → calcular x_{n+1} → checar tolerância → atualizar contador e repetição. Isso demonstra que você entendeu o algoritmo.
  • Escreva explicitamente a fórmula iterativa \;x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\; próxima ao bloco de cálculo.
  • Se tiver espaço, indique os critérios de parada usados ( |x_{n+1}-x_n|<\text{tol} ou |f(x_{n+1})|<\text{tol}).
  • Seja claro sobre o que acontece quando f'(x_n)=0: note isso no fluxograma como caminho de erro.

Resposta

Início\nEntrada: f,\;f',\;x_0,\;\text{tol},\;N_{\max}\n n\leftarrow 0,\;x\leftarrow x_0\nAvaliar f(x) e f'(x)\nDecisão: f'(x)=0? — Se Sim: Saída “Erro: derivada nula” e Fim. — Se Não: continuar\nProcesso: x_{\text{novo}} \leftarrow x - \dfrac{f(x)}{f'(x)}\nDecisão: |x_{\text{novo}}-x|<\text{tol} ou |f(x_{\text{novo}})|<\text{tol}? — Se Sim: Saída "Convergiu: raiz = x_{\text{novo}}" e Fim. — Se Não: continuar\n n\leftarrow n+1\nDecisão: n\ge N_{\max}? — Se Sim: Saída “Falha: não convergiu em N_{\max} iterações” e Fim. — Se Não: x\leftarrow x_{\text{novo}} e voltar para "Avaliar f(x) e f'(x)".

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