Projeto Óptimo de Uma Estrutura
Uma equipe de engenharia estrutural está projetando uma coluna para suportar carga máxima com a menor área possível, respeitando uma função de resistência de material. A resistência da coluna em função de sua espessura
) é representada por
. Use o método de interpolação quadrática para encontrar o valor de d que maximiza a resistência, considerando um intervalo inicial de [0, 20]. Discuta a importância de otimizar a espessura para maximizar a resistência e reduzir o peso e o custo de materiais.
Uma equipe de engenharia estrutural está projetando uma coluna para suportar carga máxima com a menor área possível, respeitando uma função de resistência de material. A resistência da coluna em função de sua espessura
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a resistência da coluna é dada por
e a gente quer achar a espessura
que deixa
máxima, usando interpolação quadrática num intervalo
.
Conteúdo envolvido: função quadrática, interpolação polinomial de 2º grau (três pontos) e derivada para achar máximo.
Conteúdo envolvido: função quadrática, interpolação polinomial de 2º grau (três pontos) e derivada para achar máximo.
Passo 2
Interpolação quadrática é o lance de pegar três pontos
,
,
e construir um polinômio
que passe neles. Aqui vamos escolher os pontos extremos e um “chute” no meio:
,
,
.
Calcular nesses pontos:
Calcular
Passo 3
Agora montamos o sistema para achar
:
-
. -
\ . -
\ .
Da 3):.
Substituindo na 2):
Então
e
.
Ficamos com
Ficamos com
Passo 4
Pra achar o máximo de
, derivamos e igualamos zero:
Como a segunda derivada
, é mesmo máximo.
Discuta: escolher a espessura certa ( ) evita material demais (peso e custo altos) e material de menos (resistência cai). Ou seja, otimizar
é equilibrar segurança, leveza e economia.
Discuta: escolher a espessura certa (
Resposta
A espessura que maximiza a resistência é
.