Projeto Óptimo de Uma Estrutura
Uma equipe de engenharia estrutural está projetando uma coluna para suportar carga máxima com a menor área possível, respeitando uma função de resistência de material. A resistência da coluna em função de sua espessura d(e m c m ) é representada por R(d)=10 d-0.5 d^wed>= 2. Use o método de interpolação quadrática para encontrar o valor de d que maximiza a resistência, considerando um intervalo inicial de [0, 20]. Discuta a importância de otimizar a espessura para maximizar a resistência e reduzir o peso e o custo de materiais.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a resistência da coluna é dada por
R(d) = 10d - 0.5,d^2
e a gente quer achar a espessura que deixa máxima, usando interpolação quadrática num intervalo .
Conteúdo envolvido: função quadrática, interpolação polinomial de 2º grau (três pontos) e derivada para achar máximo.

Passo 2

Interpolação quadrática é o lance de pegar três pontos p(d)=a,d^2+b,d+c, R(0)=0, R(10)=10cdot10 -0.5cdot10^2=50, R(20)=10cdot20 -0.5cdot20^2=0, e construir um polinômio
que passe neles. Aqui vamos escolher os pontos extremos e um “chute” no meio:
, , .
Calcular nesses pontos:

Passo 3

Agora montamos o sistema para achar 100a +10(-20a)=50 Rightarrow 100a -200a=50 Rightarrow -100a=50 Rightarrow a=-0.5:
  1. p(d) = -0.5,d^2 + 10,d.
  2. \ .
  3. \ .
    Da 3): .
    Substituindo na 2):
Então e .
Ficamos com

Passo 4

Pra achar o máximo de p'(d) = -1.0,d + 10,, derivamos e igualamos zero:
p'(d)=0 implies -d+10=0 implies d=10
Como a segunda derivada , é mesmo máximo.
Discuta: escolher a espessura certa ( ) evita material demais (peso e custo altos) e material de menos (resistência cai). Ou seja, otimizar é equilibrar segurança, leveza e economia.

Resposta

A espessura que maximiza a resistência é .

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