Proposição 2.2. Existem, pelo menos, três retas distintas que não são concorrentes.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Proposição 2.2. Existem, pelo menos, três retas distintas que não são concorrentes.”
Isso é Geometria Euclidiana pura, usando axiomas de incidência (ponto-reta).
O que vamos precisar:
  1. Axioma: existem pelo menos três pontos não colineares.
  2. Definição de reta determinada por dois pontos e de retas concorrentes (todas passam por um mesmo ponto).

Passo 2

Pelo axioma, escolhemos três pontos , e tais que eles não estão todos numa mesma reta (isto é, não são colineares).
Isso garante que cada par de pontos define uma reta diferente.

Passo 3

Vamos definir três retas:
r = reta que passa por A e B, s = reta que passa por B e C, t = reta que passa por C e A
Por que elas são distintas?
  • Se e fossem a mesma reta, então estariam numa única reta (pois e ), mas isso contradiz a não-colinearidade.
  • Mesma ideia para quaisquer pares e .

Passo 4

Agora, precisamos ver que não existe ponto que esteja simultaneamente em , em e em .
Suponha, para contradizer, que exista comum às três:
  • Como e , então e se cruzam em .
  • Mas já passa por e , então ficariam colineares.
  • Como também , teríamos colineares, e ainda colineares (pois ).
    No fim, todos os pontos estariam em pelo menos uma reta em comum com , o que força a serem colineares – contradizendo o passo 2.
    Logo, não há ponto em comum às três retas.

Resposta

As retas , e são três retas distintas que não se cruzam num mesmo ponto; ou seja, não são concorrentes.

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