Proposição 2.2. Existem, pelo menos, três retas distintas que não são concorrentes.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Proposição 2.2. Existem, pelo menos, três retas distintas que não são concorrentes.”
Isso é Geometria Euclidiana pura, usando axiomas de incidência (ponto-reta).
O que vamos precisar:
Isso é Geometria Euclidiana pura, usando axiomas de incidência (ponto-reta).
O que vamos precisar:
- Axioma: existem pelo menos três pontos não colineares.
- Definição de reta determinada por dois pontos e de retas concorrentes (todas passam por um mesmo ponto).
Passo 2
Pelo axioma, escolhemos três pontos
,
e
tais que eles não estão todos numa mesma reta (isto é, não são colineares).
Isso garante que cada par de pontos define uma reta diferente.
Isso garante que cada par de pontos define uma reta diferente.
Passo 3
Vamos definir três retas:
Por que elas são distintas?
- Se
e fossem a mesma reta, então estariam numa única reta (pois e ), mas isso contradiz a não-colinearidade. - Mesma ideia para quaisquer pares
e .
Passo 4
Agora, precisamos ver que não existe ponto
que esteja simultaneamente em
, em
e em
.
Suponha, para contradizer, que exista comum às três:
Suponha, para contradizer, que exista
- Como
e , então e se cruzam em . - Mas
já passa por e , então ficariam colineares. - Como também
, teríamos colineares, e ainda colineares (pois ).
No fim, todos os pontosestariam em pelo menos uma reta em comum com , o que força a serem colineares – contradizendo o passo 2.
Logo, não há ponto em comum às três retas.
Resposta
As retas
,
e
são três retas distintas que não se cruzam num mesmo ponto; ou seja, não são concorrentes.