Proposição 2.5. Para todo ponto, existem pelo menos duas retas distintas que incidem sobre ele.

Passo 1

Beleza, o exercício manda provar que “para todo ponto P existem pelo menos duas retas distintas que passam por P”. Isso é parte da geometria axiomática (incidência). Vamos precisar principalmente de dois axiomas:
  1. Axioma I₁: dados dois pontos distintos P e Q, existe uma única reta que os contém.
  2. Axioma I₃: existem três pontos que não são colineares (ou seja, não estão todos na mesma reta).

Passo 2

Começamos pegando um ponto qualquer P. Agora escolhe outro ponto Q ≠ P (existe sempre, porque o plano tem infinitos pontos). Pelo Axioma I₁, existe exatamente uma reta que passa por P e Q. Vamos chamar essa reta de
r = PQ

Passo 3

Para mostrar que há uma outra reta em P, precisamos de um ponto R que não esteja sobre r. É aí que entra o Axioma I₃: ele garante que existem três pontos que não são colineares. Esses três pontos, digamos A, B e C, não estão todos na mesma reta. Como r só contém dois pontos (P e Q), não pode conter simultaneamente A, B e C. Então pelo menos um entre A, B ou C não está em r. Esse ponto a mais é o nosso R.

Passo 4

Agora, R é um ponto diferente de P e não está em r. Pelo Axioma I₁ de novo, existe uma reta única que passa por P e R. Vamos chamá-la de
s = PR

Passo 5

Note que s ≠ r, porque R não está em r. Logo temos duas retas distintas r e s, ambas passando por P.

Resposta

Concluímos que, para qualquer ponto P, existem pelo menos duas retas distintas (r = PQ e s = PR) que incidem sobre P.

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