Seja a função f(x)=3 / x definida nas abscissas x=[lllll0,1 & 0,4 & 0,5 & 0,8 & 1,0], para interpolar z=0,63 por um polinômio quadrático. Usar 4 casas decimais.
  • Qual a cota máxima do erro da interpolação?
    Observação: o valor é positivo.
    square

Passo 1

Beleza, bora lá: a questão fala da função
f(x)=3x
em cinco pontos R2(z)=f^(3)(xi)3!,(z-x0)(z-x1)(z-x2). A gente quer aproximar em por um polinômio de grau 2 e, em seguida, achar a cota máxima do erro dessa interpolação.
Conteúdo: interpolação polinomial (resto de Lagrange). Vamos precisar da fórmula do erro
e de escolher três nós próximos a .

Passo 2

Primeiro, escolhemos 3 pontos dentre os 5 que fiquem “em volta” de x0=0,4, x1=0,5, x2=0,8 . Os mais próximos são
porque são os que minimizam a distância até .

Passo 3

A teoria do erro de Lagrange nos diz que, para interpolação quadrática, existe R2(z) =f^(3)(xi)3!,(z-x0)(z-x1)(z-x2) entre o mínimo e o máximo dos nós de interpolação (aqui num intervalo |R2(z)|<=M3!,l| (z-x0)(z-x1)(z-x2)r| ) tal que
M=maxxin[0,4,,0,8]|f^(3)(x)|
Para achar a cota máxima, a gente toma
onde

Passo 4

Vamos calcular f(x)=3x^-1 Longrightarrow f'(x)=-3x^-2, f''(x)=6x^-3, f^(3)(x)=-18x^-4 .
|f^(3)(x)|=18x^4
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Passo 5

No intervalo M=18(0,4)^4=180,0256=703,125 , a função é decrescente em , então o máximo é em :

Passo 6

Agora o produto |0,63-0,4|times|0,63-0,5|times|0,63-0,8| =0,23times0,13times0,17approx0,005083 em módulo:

Passo 7

Com tudo em mãos,
|R2(0,63)|<=M3!times0,005083 =703,1256times0,005083 approx117,1875times0,005083 approx0,5956

Resposta

A cota máxima do erro da interpolação em boxed0,5956 é aproximadamente

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