Provar que
para todo polinômio
e para todo
. Aqui
isto é, o polinômio de Chebyshev de grau
.
Passo 1
A questão quer mostrar que para qualquer polinômio Q de grau ≤ n e todo x com |x|≥1 vale
|Q(x)| ≤ |T_n(x)|·max_{t∈[-1,1]}|Q(t)|,
onde T_n é o polinômio de Chebyshev de grau n. Vamos usar a expansão de Q na base de Chebyshev e a propriedade de que T_k cresce (em valor absoluto) até T_n para |x|≥1.
Passo 2
Definimos
M = max_{t∈[-1,1]}|Q(t)|
e o polinômio normalizado
P(x) = Q(x)/M.
Então em [-1,1] temos |P(x)| ≤ 1.
Passo 3
Qualquer polinômio P de grau ≤ n pode ser escrito como combinação linear de T_k:
P(x) = \sum_{k=0}^n c_k,T_k(x).
Como em [-1,1] vale |T_k(x)| ≤ 1, segue para todo x∈[-1,1]
|P(x)| = |\sum c_k T_k(x)| ≤ \sum |c_k|·|T_k(x)| ≤ \sum |c_k|.
Mas também |P(x)| ≤ 1, logo
\sum_{k=0}^n |c_k| ≤ 1.
Passo 4
Agora seja x com |x| ≥ 1. Escrevemos |x| = cosh θ (θ ≥ 0). Então para k ≤ n
|T_k(x)| = |cosh(kθ)| = cosh(kθ)
e cosh(kθ) ≤ cosh(nθ) = |T_n(x)|. Desse modo
|P(x)| = |\sum c_k T_k(x)| ≤ \sum |c_k|·|T_k(x)| ≤ \sum |c_k|·|T_n(x)| = |T_n(x)|\sum|c_k| ≤ |T_n(x)|.
Passo 5
Voltando a Q, lembrando P=Q/M, obtemos para |x|≥1
|Q(x)| = M·|P(x)| ≤ M·|T_n(x)| = |T_n(x)|·max_{t∈[-1,1]}|Q(t)|.
Passo 6
Portanto concluímos que para todo polinômio Q de grau ≤ n e todo x com |x| ≥ 1 vale
|Q(x)| ≤ |T_n(x)|·max_{t∈[-1,1]}|Q(t)|.
Resposta
|Q(x)| ≤ |T_n(x)|·max_{t\in[-1,1]}|Q(t)| para todo Q∈π_n e todo x com |x|≥1.