Provar que o problema extremo
possui uma única solução que é
.
Passo 1
Vamos trabalhar com o enunciado integralmente: queremos escolher pontos $-1\le x_0<\cdots<x_n\le1$ e um polinômio \P\in\pi_n\) tais que \P(x_k)=(-1)^{n-k}\) e minimizar \max_{-1\le x\le1}|P(x)|\). O enunciado nos lembra o polinômio de Chebyshev \T_n\), que é caracterizado por oscilar n+1 vezes entre \pm1\) e, quando tornamos esse polinômio monico, é aquele que minimiza a norma uniforme em $
. Vamos usar esse fato para mostrar que, para qualquer candidato $P,x_0,\dots,x_n$, o valor mínimo de \max|P|\) é 1, obtido unicamente por \P=T_n\) nos nós de Chebyshev.
Resposta
A única solução do problema extremo é P(x)=T_n(x) com nós x_k=\cos\bigl((n-k)\pi/n\bigr), e o valor mínimo de \max_{[-1,1]}|P(x)| é 1.