Provar que
sumk=0^n ln k(x)=1 para todo x in R

Passo 1

A questão diz que devemos provar que a soma das funções base de Lagrange de grau n sobre um certo feixe de nós x_0, x_1, …, x_n vale sempre 1. O conteúdo é interpolação polinomial de Lagrange e vamos precisar da definição dos polinômios de base e de um argumento de unicidade de polinômio.

Passo 2

Definimos o polinômio p(x) como a soma das bases de Lagrange: p(x)=∑_{k=0}^n l_{nk}(x). Cada l_{nk}(x) é
lnk(x)=prodsubstackj=0jne k^nx-xjxk-xj,
um polinômio de grau ≤n. Como cada l_{nk}(x) tem grau ≤n, p(x) também é um polinômio de grau ≤n, pois soma de polinômios de grau ≤n resulta em polinômio de grau ≤n.

Passo 3

Agora avaliamos p(x) nos nós. Se x=x_i para algum i=0,…,n, então para k=i temos l_{ni}(x_i)=1 e para k≠i temos l_{nk}(x_i)=0. Logo:
p(xi)=sumk=0^n lnk(xi)=1

Passo 4

Concluímos que p(x) é um polinômio de grau ≤n que assume o valor 1 em n+1 pontos distintos x_0,…,x_n. Pelo teorema da unicidade da interpolação, o único polinômio de grau ≤n que vale 1 em todos esses pontos é o polinômio constante 1. Portanto p(x)≡1.

Resposta

1

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