Provar que
inf -1 <= x0
e que este ínfimo é atingido somente para os pontos de extremo do polinômio de Chebyshev pm Tn(x).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, entre todas as escolhas de pontos –1 ≤ x₀ < x₁ < … < xₙ ≤ 1, o menor valor possível de
sumk=0^n 1|ω'(xk)|
é exatamente 2^{n−1}, e que esse mínimo só ocorre quando {x_k} são os pontos de extremo do polinômio de Chebyshev T_n. Vamos usar teoria de polinômios monicos minimax e de interpolação de Lagrange.

Passo 2

Definimos o polinômio
ω(x)=prodj=0^n (x - xj),
que é monico de grau n+1. Em cada raiz x_k temos
ω'(xk)=prodsubstack0<= j<= njneq k(xk - xj),
e portanto introduzimos os pesos barycêntricos
λk=1ω'(xk)

Passo 3

Na interpolação de Lagrange sobre estes nós, as funções base são
Lk(x)=ω(x)ω'(xk), (x - xk)=λk,ω(x)x - xk
A função de Lebesgue associada é
$$Λ(x)=\sum_{k=0}^n |L_k(x)|,
Λ(x)=sumk=0^n |Lk(x)|, éΛ_n=\max_{x\in[-1,1]}Λ(x).$$
Observamos que, em qualquer escolha de nós, vale a desigualdade
Λn=maxxin[-1,1]Λ(x)
pois em certo ponto x₀* as funções L_k(x₀*) têm mesmo sinal e saturam o valor máximo Λ_n.

Passo 4

É um fato clássico que, de todas as malhas em [–1,1], aquela que minimiza a constante de Lebesgue é dada pelos pontos de extremo do Chebyshev T_n, e o valor mínimo é
$$Λ_n{\min}=2{n-1}.
$$
Logo
[\inf_{,-1\le x_0<\cdots<x_n\le1}\sum_{k=0}^n\frac1{|ω’(x_k)|};=;\inf Λ_n;=;2^{n-1}.

Passo 5

Para a unicidade: sabe-se também que a malha de Chebyshev é a única que atinge o mínimo da constante de Lebesgue. Daí segue que a igualdade só ocorre quando {x_k} são exatamente os n+1 pontos de extremo de T_n, isto é,
xk=cosl(k,πnr), k=0,1,dots,n

Resposta

2^{n-1}

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