Provar que
e que este ínfimo é atingido somente para os pontos de extremo do polinômio de Chebyshev
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, entre todas as escolhas de pontos –1 ≤ x₀ < x₁ < … < xₙ ≤ 1, o menor valor possível de
é exatamente 2^{n−1}, e que esse mínimo só ocorre quando {x_k} são os pontos de extremo do polinômio de Chebyshev T_n. Vamos usar teoria de polinômios monicos minimax e de interpolação de Lagrange.
Passo 2
Definimos o polinômio
que é monico de grau n+1. Em cada raiz x_k temos
e portanto introduzimos os pesos barycêntricos
Passo 3
Na interpolação de Lagrange sobre estes nós, as funções base são
A função de Lebesgue associada é
$$Λ(x)=\sum_{k=0}^n |L_k(x)|,
Observamos que, em qualquer escolha de nós, vale a desigualdade
pois em certo ponto x₀* as funções L_k(x₀*) têm mesmo sinal e saturam o valor máximo Λ_n.
Passo 4
É um fato clássico que, de todas as malhas em [–1,1], aquela que minimiza a constante de Lebesgue é dada pelos pontos de extremo do Chebyshev T_n, e o valor mínimo é
$$Λ_n{\min}=2{n-1}.
$$
Logo
[\inf_{,-1\le x_0<\cdots<x_n\le1}\sum_{k=0}^n\frac1{|ω’(x_k)|};=;\inf Λ_n;=;2^{n-1}.
Logo
[\inf_{,-1\le x_0<\cdots<x_n\le1}\sum_{k=0}^n\frac1{|ω’(x_k)|};=;\inf Λ_n;=;2^{n-1}.
Passo 5
Para a unicidade: sabe-se também que a malha de Chebyshev é a única que atinge o mínimo da constante de Lebesgue. Daí segue que a igualdade só ocorre quando {x_k} são exatamente os n+1 pontos de extremo de T_n, isto é,
Resposta
2^{n-1}