-4 Prove que se
, então
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer números reais
e
tais que
vale a desigualdade
O conteúdo principal que vamos usar é a convexidade da função
e a desigualdade de Jensen (caso especial para dois pontos com pesos iguais).
Passo 2
Mostramos que
. Para isso, basta calcular a segunda derivada:
Como
, concluímos que
é convexa.)
Passo 3
Aplicando a desigualdade de Jensen para a função convexa
com pesos
em
e
, obtemos
Em outras palavras,
Passo 4
Como
, temos
. Então
e multiplicando ambos os lados por
segue