-4 Prove que se a+b=1, então
a^{4}+b^{4} \geqslant \frac{1}{8} .

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer números reais a e b tais que
a + b = 1,
vale a desigualdade
a^{4} + b^{4} \ge \tfrac{1}{8}.
O conteúdo principal que vamos usar é a convexidade da função \varphi(x)=x^{4} e a desigualdade de Jensen (caso especial para dois pontos com pesos iguais).

Passo 2

Mostramos que \varphi(x)=x^{4}$ é convexa em \(\mathbb{R}. Para isso, basta calcular a segunda derivada:
\varphi'(x)=4x^{3}, \qquad \varphi''(x)=12x^{2}\ge0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Como \varphi''(x)\ge0, concluímos que \varphi é convexa.)

Passo 3

Aplicando a desigualdade de Jensen para a função convexa \varphi com pesos \tfrac12 em a e b, obtemos
\frac{\varphi(a) + \varphi(b)}{2} \;\ge\;\varphi\!\Bigl(\tfrac{a+b}{2}\Bigr).
Em outras palavras,
\frac{a^{4} + b^{4}}{2} \;\ge\;\Bigl(\tfrac{a+b}{2}\Bigr)^{4}.

Passo 4

Como a+b=1, temos \tfrac{a+b}{2}=\tfrac12. Então
\frac{a^{4} + b^{4}}{2} \;\ge\;\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{4} = \frac{1}{16},
e multiplicando ambos os lados por 2 segue
a^{4} + b^{4} \;\ge\;2\cdot\frac{1}{16} \;=\;\frac{1}{8}.

Resposta

a^{4} + b^{4} \ge \frac{1}{8}.

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