07 Se a, b, c, d>0 e a+b+c+d=1, prove que
\sqrt{4 a+1}+\sqrt{4 b+1}+\sqrt{4 c+1}+\sqrt{4 d+1}<6

Passo 1

O enunciado dá a,b,c,d>0 com
a+b+c+d=1
e pede para mostrar que
\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1}<6.
Vamos usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Aplicando Cauchy–Schwarz aos vetores (1,1,1,1) e \bigl(\sqrt{4a+1},\sqrt{4b+1},\sqrt{4c+1},\sqrt{4d+1}\bigr), temos
\bigl(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1}\bigr)^{2} \le (1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2})\bigl((4a+1)+(4b+1)+(4c+1)+(4d+1)\bigr).
Como
(4a+1)+(4b+1)+(4c+1)+(4d+1) =4(a+b+c+d)+4=4\cdot1+4=8,
segue
\bigl(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1}\bigr)^{2}\le4\cdot8=32,
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\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1}\le\sqrt{32}=4\sqrt{2}.

Passo 3

Sabendo que \sqrt{2}<1,5, temos
4\sqrt{2}<4\cdot1,5=6.
Portanto
\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1}<6,
como desejado.

Resposta

\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1}<6.

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